Question

determine as coordenadas de P (x, y), sabendo que ele é equidistante aos pontos M (3, 6), N (4, 3) e O (0, 0)

Answer 1

Você terá que utilizar a seguinte fórmula:
d= √(〖(x1-x2)〗^2+〖(y1-y2)〗^2)
Distância pm:
d= √(〖(x-3)〗^2+〖(y-6)〗^2)
d^2=〖(x- 3)〗^2 + 〖(y-6)〗^2
Distância pn:
d= √(〖(x-4)〗^2+〖(y-3)〗^2)
d^2=〖(x- 4)〗^2 + 〖(y-3)〗^2
Distância po:
d= √(〖(x-0)〗^2+〖(y-0)〗^2)
d^2=x^2 + y^2
Igualando as equações: 
〖(x- 3)〗^2 + 〖(y-6)〗^2= 〖(x- 4)〗^2 + 〖(y-3)〗^2
x^2 - 6x +9 + y^2 - 12y +36 = x^2 - 8x + 16 + y^2 -6y + 9
2x - 6y = -20
x- 3y = -10
E também:
〖(x- 3)〗^2 + 〖(y-6)〗^2 =x^2 + y^2
x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y +36= x^2 + y^2
-6x -12y = -45
2x + 4y= 15
Fazendo sistema
2x-6y=-20 e 2x+4y=15
-10y=-35
y=3,5
x=1/2

Answer 2

As coordenadas do ponto P são P = (1/2,7/2).

Se o ponto P = (x,y) é equidistante aos pontos M = (3,6), N = (4,3) e O = (0,0), então as distâncias entre os pontos P e M, P e N, P e O são iguais.

Sendo A = (xa,ya) e B = (xb,yb), a distância entre os pontos A e B é definida pela fórmula:

• d² = (xb - xa)² + (yb - ya)².

Distância entre P e M

d² = (x - 3)² + (y - 6)².

Distância entre P e N

d² = (x - 4)² + (y - 3)².

Distância entre P e O

d² = x² + y².

Então, é válido dizer que:

x² + y² = (x - 3)² + (y - 6)²

x² + y² = x² - 6x + 9 + y² - 12y + 36

-6x - 12y + 45 = 0

6x + 12y = 45

2x + 4y = 15.

Além disso:

x² + y² = (x - 4)² + (y - 3)²

x² + y² = x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9

-8x - 6y + 25 = 0

8x + 6y = 25.

Com as duas equações obtidas, podemos montar o sistema linear:

{2x + 4y = 15

{8x + 6y = 25

Multiplicando a primeira equação por 6 e a segunda equação por -4:

{12x + 24y = 90

{-32x - 24y = -100

Somando as equações:

-20x = -10

x = 1/2.

Consequentemente:

2.1/2 + 4y = 15

1 + 4y = 15

4y = 14

y = 7/2.

Portanto, o ponto P é P = (1/2,7/2).

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