Question

determine as coordenadas de AB, dados A (0, 2, -3) C(4,8,0) AB°(2/3, 1/3, 2/3)

Answer 1

$\bullet\;\;$ Tomando o versor $\overrightarrow{AB}^{\circ},$ temos

$\overrightarrow{AB}^{\circ}=(\frac{2}{3},\;\frac{1}{3};\,\frac{2}{3})\\ \\ \overrightarrow{AB}^{\circ}=\frac{1}{3}\cdot (2;\,1;\,2)$


Como o versor acima nos fornece a direção do vetor $\overrightarrow{AB},$ podemos escrever o vetor $\overrightarrow{AB}$ como

$\overrightarrow{AB}=k\cdot (2;\,1;\,2)\\ \\ \overrightarrow{AB}=(2k;\,k;\,2k)$

para algum escalar $k \neq 0.$


$\bullet\;\;$ Pela propriedade da soma de vetores, temos que

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\\ \\ (2k;\,k;\,2k)+\overrightarrow{BC}=C-A\\ \\ (2k;\,k;\,2k)+\overrightarrow{BC}=(4;\,8;\,0)-(0;\,2;\,-3)\\ \\ (2k;\,k;\,2k)+\overrightarrow{BC}=(4-0;\,8-2;\,0+3)\\ \\ (2k;\,k;\,2k)+\overrightarrow{BC}=(4;\,6;\,3)\\ \\ \overrightarrow{BC}=(4;\,6;\,3)-(2k;\,k;\,2k)\\ \\ \overrightarrow{BC}=(4-2k;\,6-k;\,3-2k)$


$\bullet\;\;$ Se $ABCD$ é um retângulo, então os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$ são ortogonais, e portanto, o produto escalar entre eles é zero:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ \\ (2k;\,k;\,2k)\cdot (4-2k;\,6-k;\,3-2k)=0\\ \\ 2k\,(4-2k)+k\,(6-k)+2k\,(3-2k)=0\\ \\ 8k-4k^{2}+6k-k^{2}+6k-4k^{2}=0\\ \\ -9k^{2}+20k=0\\ \\ -k\,(9k-20)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} k=0\text{ (n\~{a}o serve)}&\;\text{ ou }\;&9k-20=0 \end{array}\\ \\ 9k-20=0\\ \\ 9k=20\\ \\ k=\frac{20}{9}$


Então, o vetor $\overrightarrow{AB}$ é

$\overrightarrow{AB}=(2k;\,k;\,2k)\\ \\ \overrightarrow{AB}=(2\cdot \frac{20}{9};\,\frac{20}{9};\,2\cdot \frac{20}{9})\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}=(\frac{40}{9};\,\frac{20}{9};\,\frac{40}{9}) \end{array}}$


Bons estudos!!!