Question

Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P sobre o plano π, no caso: P = (1, 0, 1) e π : x − 2y + 4z = 1.

Answer 1

Para resolver, vamos usar a seguinte equação:

P' = P + λn

onde P' é a projeção ortogonal do ponto P, n é o vetor normal ao plano π e λ é uma constante a ser determinada.

O vetor normal é obtido através dos coeficientes da equação do plano, então

n = (1, -2, 4)

Temos que:

P' = (1, 0, 1) + (λ, -2λ, 4λ)

P' = (1+λ, -2λ, 1+4λ)

Como P' tem interseção com o plano, podemos substituir as coordenadas de P' na equação do plano:

1+λ - 2*(-2λ) + 4*(1+4λ) = 1

1+λ + 4λ + 4 + 16λ - 1 = 0

21λ = -4

λ = -4/21

Portanto, a projeção ortogonal de P em π é:

P' = (17/21, 8/21, 5/21)

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto P' composto pelas coordenadas da projeção ortogonal do ponto P sobre o plano π é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf P' = \bigg(\frac{17}{21},\,\frac{8}{21},\,\frac{5}{21}\bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                     $\Large\begin{cases} \pi: x - 2y + 4z = 1\\P(1, 0, 1)\end{cases}$

Para obter as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P sobre o plano π, devemos:

• Recuperar o vetor normal ao plano. Para isso, devemos saber que as componentes do referido vetor são iguais aos coeficientes das variáveis da equação do plano, ou seja:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = (1, -2, 4)\end{gathered}$

• Obter as equações paramétricas da reta suporte "s" que contém o segmento PP'. Para isso, devemos partir de sua equação vetorial, ou seja:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf (I)\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered} s: P' = P + \lambda\vec{n}, \:\:\textrm{com}\:\:\lambda\in\mathbb{R}\:\:e\:\:\vec{n}\neq\vec{0}\end{gathered}$

       Então, temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} s: (x, y, z) = (1, 0, 1) + \lambda(1, -2, 4)\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} s: \Large\begin{cases} x = 1 + \lambda\\y = -2\lambda\\z = 1 + 4\lambda\end{cases}\end{gathered}$

• Calcular o valor de "λ". Para isso, devemos inserir na equação do plano os valores de x, y e z da reta suporte "s", ou seja:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot(1 + \lambda) - 2\cdot(-2\lambda) + 4\cdot(1 + 4\lambda) = 1\end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + \lambda + 4\lambda + 4 + 16\lambda = 1\end{gathered}$    

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda + 4\lambda + 16\lambda = 1 - 1 - 4\end{gathered}$    

                                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 21\lambda = -4\end{gathered}$

                                                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda = -\frac{4}{21}\end{gathered}$

• Calcular os valores das coordenadas do ponto P'. Para isso, devemos inserir o valor de "λ" nas equações paramétricas da reta suporte "s" e, em seguida, calcular os valores das coordenadas. Então temos:        

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 1 + \bigg(-\frac{4}{21}\bigg) = 1 - \frac{4}{21} = \frac{17}{21}\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -2\cdot\bigg(-\frac{4}{21}\bigg) = \frac{8}{21}\end{gathered}$        

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = 1 + 4\cdot\bigg(-\frac{4}{21}\bigg) = 1 - \frac{16}{21} = \frac{5}{21}\end{gathered}$

✅ Portanto, o ponto P' é:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} P' = \bigg(\frac{17}{21},\,\frac{8}{21},\,\frac{5}{21}\bigg)\end{gathered}$

                             

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$