Question

Determine as coordenadas cartesianas do ponto Q de coordenadas polares (r,θ) = (3, 5π/6), assinalando a alternativa correta.​​​​​​​

(√3/2, -3/2).
(-3/2, 3/2).
(-√3/3, 2).
(-3√3/2, 3/2).

Answer 1

$\large\boxed{\begin{array}{l}\rm z=3\bigg[cos\bigg(\dfrac{5\pi}{6}\bigg)+i~sen\bigg(\dfrac{5\pi}{6}\bigg)\bigg]\\\\\rm z=3\cdot\bigg[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i~\cdot\dfrac{1}{2}\bigg]\\\\\rm z=\dfrac{-3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i\\\\\rm \bigg(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{2}\bigg)\end{array}}$

Answer 2

Convertendo as coordenadas utilizando a relação entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas, determinamos que as coordenadas cartesianas são: $(\frac{-3\sqrt{3}} {2}, {\frac{3}{2}})$, assim a alternativa D está correta.

Convertendo coordenadas polares para coordenadas cartesianas

Para a matemática, as coordenadas polares é um sistema de coordenadas em duas dimensões, ao contrário das coordenadas cartesianas onde identificamos a posição de um ponto por sua posição relativa aos eixos x e y, as coordenadas polares informam a distância e o ângulo em relação a um ponto de referência. Para resolver este exercício precisaremos relembrar algumas informações:

• Um ponto P do plano cartesiano pode ser representado em coordenadas cartesianas por (x,y) ou em coordenadas polares por (r,β)

• Para a relação entre coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r,β)temos:

$x = r*cos\beta \\y = r sen\beta$

então teremos:

• Coordenada x:

$x=3cos(\frac{5\pi }{6})\\x = 3 *-\frac{\sqrt{3} }{2}\\x = \frac{-3\sqrt{3} }{2}$

• Coordenada y

$y=3sen(\frac{5\pi }{6})\\y = 3 *\frac{1}{2}\\y = \frac{3}{2}$

Assim, determinamos que as coordenadas cartesianas são: $(\frac{-3\sqrt{3}} {2}, {\frac{3}{2}})$, assim a alternativa D está correta.

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