Question

Determine as áreas limitadas pelas curvas y = 2 - x² e y + x = 0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{9}{2}~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a área da região delimitada entre duas curvas, utilizaremos integrais duplas.

Seja a região $\mathsf{R}$ delimitada pelas curvas $f(x)$ e $g(x)$. A área dessa região pode ser calculada pela integral dupla: $\displaystyle{\iint_R\,dA$.

O elemento de área $dA$ pode ser reescrito como $dA=dy\,dx$ ou $dA=dx\,dy$, conforme o Teorema de Fubini para integrais iteradas. A ordem de integração é importante pois determina como os limites devem ser tomados: a última integral a ser calculada deve ter limites numéricos!

A área da região em relação ao eixo das abscissas, isto é, uma região do tipo $\mathsf{I}$ é dada pela integral dupla: $\displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx$, em que $[a,~b]$ são os limites numéricos, que podem ser dados pelo enunciado ou geralmente são os pontos de intersecção entre as curvas.

Neste caso, define-se a integral mais interna em relação a variável $y$ como $g(x)\leq y\leq f(x)$, se neste intervalo em que a região está compreendida, observe-se que $g(x)<f(x)$.

Então, sejam as curvas $y=2-x^2$ e $y+x=0$.

Subtraia $x$ em ambos os lados da equação da segunda curva, de modo que tenhamos: $y=-x$.

Para calculamos os pontos de intersecção das curvas e, consequentemente, os limites de integração, igualamos as equações:

$2-x^2=-x$.

Some $x$ em ambos os lados da equação

$-x^2+x+2=0$

Utilizando a fórmula resolutiva, facilmente vemos que:

$x=-1~~~\mathsf{ou}~~~x=2$.

Dessa forma, observa-se que a região está compreendida no intervalo $-1\leq x\leq 2$.

Neste intervalo, também observa-se que $2-x^2>-x$, logo a área desta região será calculada pela integral dupla:

$\displaystyle{\int_{-1}^2\int_{-x}^{2-x^2}dy\,dx$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral de uma potência é dada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma da integral das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b= F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Sabendo que $y^0=1$, aplique a regra da potência na integral mais interna

$\displaystyle{\int_{-1}^2y~\biggr|_{-x}^{2-x^2}\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_{-1}^22-x^2-(-x)\,dx$

Efetue a propriedade dos sinais

$\displaystyle{\int_{-1}^22-x^2+x\,dx$

Aplique a regra da soma e da constante

$\displaystyle{\int_{-1}^22\,dx+\int_{-1}^2-x^2\,dx+\int_{-1}^2x\,dx}\\\\\\ \displaystyle{2\int_{-1}^2\,dx-\int_{-1}^2x^2\,dx+\int_{-1}^2x\,dx}$

Aplique a regra da potência

$2x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_{-1}^2$

Aplique os limites de integração

$2\cdot2-\dfrac{2^3}{3}+\dfrac{2^2}{2}-\left(2\cdot(-1)-\dfrac{(-1)^3}{3}+\dfrac{(-1)^2}{2}\right)$

Multiplique os valores e calcule as potências

$4-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{2}-\left(-2-\dfrac{-1}{3}+\dfrac{1}{2}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$4-\dfrac{8}{3}+2+2-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}$

Some as frações

$\dfrac{9}{2}$

Esta é a área da região delimitada por estas curvas.