Question

determine aos valores de m para que a funçao f(x)=(m+1).x²+(2m+3).x+(m-1) nao tenha zeros reais 

Answer 1

Daniel,

para que uma função do 2º grau não tenha zeros reais ou raízes reais Δ < 0, então vamos identificar os termos da equação do 2º grau acima:

$f(x)=(m+1)x^2+(2m+3)x+(m-1).\\\\ \begin{cases}a=m+1\\ b=2m+3\\ c=m-1\end{cases}$

Sabendo-se que Δ=b²-4ac, teremos:

$(2m+3)^2-4\cdot(m+1)\cdot(m-1)<0\\ 4m^2+12m+9-4m^2+4m-4m+4<0\\ \not4m^2+12m+9-\not4m^2+\not4m-\not4m+4<0\\ 12m+9+4<0\\ 12m+13<0\\\\ 12m<-13\\\\ \large\boxed{\boxed{\boxed{m< -\dfrac{13}{12}}}}|\\-$

Tenha ótimos estudos ;D

Answer 2

Dada uma função da forma $f(x)=ax^2+bx+c=0$, temos três possibilidades:

$\rhd$ Se $\Delta>0$, então a função admite dois zeros reais.

$\rhd$ Se $\Delta=0$, então a função admite apenas um zero real.

$\rhd$ Se $\Delta<0$, então a função não admite zeros reais.

Como a função $f(x)=(m+1)x^2+(2m+3)+(m-1)$ não admite zeros zeais, devemos ter $\Delta<0$.

Logo:

$(2m+3)^2-4\cdot(m+1)\cdot(m-1)<0$

$4m^2+12m+9-4\cdot(m^2-1)<0$

$4m^2+12m+9-4m^2+4<0$

Deste modo, $12m+13<0$, isto é, $12m<-13$.

Logo, $m<\dfrac{-13}{12}$.