Question

Determine α, β ∈ ao conjunto dos reais, para que os polinômios f=x^3 + αx +β e g=(x^2 + x + 1)^2 - x^4 sejam iguais.

Answer 1

Olá Grasiele!

Inicialmente, tratemos do polinômio G(x); afinal, ele está na forma da diferença de quadrado. Segue,

$\\ \mathsf{G(x) = (x^2 + x + 1)^2 - x^4} \\\\ \mathsf{G(x) = (x^2 + x + 1)^2 - (x^2)^2} \\\\ \mathsf{G(x) = \left [ (x^2 + x + 1) + x^2 \right ] \cdot \left [ (x^2 + x + 1) - x^2 \right ]} \\\\ \mathsf{G(x) = (x^2 + x + 1 + x^2)(x^2 + x + 1 - x^2)} \\\\ \mathsf{G(x) = (2x^2 + x + 1)(x + 1)} \\\\ \mathsf{G(x) = 2x^3 + 2x^2 + x^2 + x + x + 1} \\\\ \mathsf{G(x) = 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1}$

 
 Note que, no polinômio F(x) o coeficiente x² é nulo, mas em G(x) não; por isso, $\mathsf{\nexists \alpha, \beta \in \mathbb{R}}$. Ou seja, F e G serão distintos!