Question

Determine a transformada de Laplace da função g(t) = t2 cos t, sabendo que
ℒ [ cos t] =
s
s
2

Answer 1

Ao realizar os cálculos concluímos que a transformada de Laplace dá função g(t) = t² cos t é:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large - \dfrac{2s\cdot (-s^2+3)}{(s^2+1)^{3}}}}}~\large ou~ \boxed{\boxed{\boxed{\large \dfrac{2s\cdot (s^2-3)}{(s^2+1)^{3}}}}}$

O problema é sobre as transformadas de Laplace. A transformada de Laplace é uma transformação integral que converte uma função variável real "t" em uma função variável complexa "s".

• ¿Qual é a integral transformada que descreve a transformada de Laplace?

A integral que descreve a transformada de Laplace é a seguinte integral imprópria:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int^{\infty}_0 f(t) e^{-st}dt}}}$

• Em que:

$\begin{cases}\large \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} : Transformada ~ de ~ Laplace \\ \large s:N\acute{u}mero ~complexo\\ \large t: N\acute{u}mero ~ real\\ \large dt: Derivada~da~func_{\!\!,} \tilde{a}o\end{cases}$

Mas para simplificar nossa integral imprópria poderíamos usar algumas propriedades existentes da transformada de Laplace, no nosso caso aplicamos a seguinte propriedade:

$\boxed{\boxed{\boxed{\large \mathcal{L}\left\{t^n f(t)\right\} = \left(-1\right)^n \dfrac{d^n}{ds^n} \left(\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}\right) }}}$

Antes de usar esta propriedade, vamos analisar a função real para ver quais dados ela nos fornece:

$\large \mathcal{L}\left\{t^2 \cos(t)\right\}$

Como podemos ver o número real "t" é elevado ao quadrado e a função real é igual ao cosseno de t, então nossos dados são:

$\begin{cases}\large \mathcal{L} \left\{\cos (t)\right\} = \dfrac{s}{s^2+1}\\ \large n = 2\end{cases}$

• Substituímos nossos dados na propriedade:

$\large \left(-1\right)^2 \dfrac{d^2}{ds^2} \dfrac{s}{s^2+1} \\ \\ \large \dfrac{d^2}{ds^2} \dfrac{s}{s^2+1}\\ \\ \large \dfrac{d}{ds}\left(\dfrac{d}{ds}\dfrac{s}{s^2+1}\right)$

Primeiro resolvemos a primeira derivada para isso devemos aplicar uma propriedade conhecida como regra do quociente e isso será simplificado como:

$\boxed{\boxed{\boxed{\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}}}}$

• Se repetirmos isso com nossa função com variável complexa, obtemos:

$\large \dfrac{d}{ds}\left(\dfrac{s'\cdot (s^2+1)-(s^2+1)'\cdot s}{(s^2+1)^2}\right)$

$\large \dfrac{d}{ds}\left(\dfrac{1\cdot (s^2+1)-s^2 '+1' \cdot s}{(s^2+1)^2}\right)$

$\large \dfrac{d}{ds}\left(\dfrac{(s^2+1)-2s+0\cdot s}{(s^2+1)^2}\right)$

$\large \dfrac{d}{ds}\left(\dfrac{(s^2+1)-2s\cdot s}{(s^2+1)^2}\right)$

$\large \dfrac{d}{ds}\left(\dfrac{s^2+1-2s^2}{(s^2+1)^2}\right)$

$\large \dfrac{d}{ds}\dfrac{-s^2+1}{(s^2+1)^2}$

Como resolvemos a primeira derivada, vamos resolver a segunda derivada aplicando as mesmas propriedades da derivada anterior.

$\large \dfrac{(-s^2+1)'\cdot (s^2+1)^2 -(s^2+1)^2 ' \cdot(-s^2+1)}{\left((s^2+1)^2\right)^2}$

$\large \dfrac{-s^2 '+1'\cdot (s^2+1)^2 -2(s^2+)\cdot (s^2+1)'\cdot(-s^2+1)}{\left((s^2+1)^2\right)^2}$

$\large \dfrac{-2s\cdot (s^2+1)^2 -2(s^2+)\cdot 2s\cdot(-s^2+1)}{\left((s^2+1)^2\right)^2}$

$\large \dfrac{-2s\cdot (s^2+1)^2 -4s(s^2+1)\cdot(-s^2+1)}{(s^2+1)^4}$

• Uma vez que ambas as derivadas foram feitas, começamos a simplificar a expressão e fatorar a expressão inteira:

$\large \dfrac{-2s\cdot (s^2+1)^2 -2\cdot 2s(s^2+1)\cdot(-s^2+1)}{(s^2+1)^4}$

$\large \dfrac{-2s\cdot (s^2+1) 2\cdot (-s^2+1)}{(s^2+1)^4}$

$\large \dfrac{-2s\cdot (s^2+1) \cdot - 2s(s^2+1+2(-s^2+1))}{(s^2+1)^4}$

$\large \dfrac{-2s\cdot (s^2+1) (s^2+1-2s^2+2) }{(s^2+1)^4}$

$\large \dfrac{-2s\cdot\cancel{ (s^2+1)}\cdot (-s^2+3)}{(s^2+1)^{\not4}}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\large - \dfrac{2s\cdot (-s^2+3)}{(s^2+1)^{3}}}}}~\large ou~ \boxed{\boxed{\boxed{\large \dfrac{2s\cdot (s^2-3)}{(s^2+1)^{3}}}}}$

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