Question

Determine a transformada de Laplace da função a seguir:


f (t) = 0, para t < 0;

f(t) = 5^-3t para t > ou = 0

Answer 1

A Transformada de Laplace nada mais é do que o cálculo da integral:

$F(s) = \int_{0}^{\infty}f(t) \cdot e^{-s \cdot t}\cdot dt$

Onde $f(t)$ é a função no domínio do tempo e F(s) a função no domínio de Laplace.

Então substituindo a nossa função na integral, teremos:

$F(s) = \int_{0}^{\infty}5^{-3\cdot t} \cdot e^{-s \cdot t}\cdot dt$

Agora, precisamos fazer uma transformação:

$5^{-3 \cdot t} = e^{\ln[5^{-3\cdot t}]} = e^{-3 \cdot t \cdot \ln[5]}$

Isso se deve ao fato de que:

$e^{\ln[a]} = a$

e:

$\log_a[b^c] = c \cdot \log_a[b]$

Agora, substituindo na integral:

$F(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-3 \cdot t \cdot \ln[5]} \cdot e^{-s \cdot t}\cdot dt$

Unindo os termos de base comum:

$F(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-(3 \cdot \ln[5] + s) \cdot t} \cdot dt$

Essa integral resulta em:

$F(s) = -\dfrac{1}{s + 3 \cdot \ln[5]} \cdot e^{-(3 \cdot \ln[5] + s) \cdot t} \rvert_{0}^{\infty}$

Aplicando os limites de integração:

$F(s) = -\dfrac{1}{s + 3 \cdot \ln[5]} \cdot \left[e^{-(3 \cdot \ln[5] + s) \cdot \infty} - e^{-(3 \cdot \ln[5] + s) \cdot 0}  \right]$

$F(s) = -\dfrac{1}{s + 3 \cdot \ln[5]} \cdot \left[0 - 1  \right]$

$F(s) = \dfrac{1}{s + 3 \cdot \ln[5]}$

$F(s) = \dfrac{1}{s + \ln[5^3]}$

$\boxed{F(s) = \dfrac{1}{s + \ln[125]}}$

Answer 2

A Resposta correta, corrigido pelo desafio nota máxima

5/s+3