Question

Determine a transformação F:R^3⟶R^2 definida como a soma F=G+T onde G e T são as transformações:

G(x, y, z)=(5x+y-z , x-3y+8z) e T(x, y, z)=(4x-2y-z, 3x-4y+z)

A)Justifique porque F é uma transformação linear;

B) Determine o núcleo de F;

C) Determine um conjunto de vetores geradores para Ker(F) e Im(F).

Answer 1

$G(x, y, z)=(5x+y-z , x-3y+8z)\\T(x, y, z)=(4x-2y-z, 3x-4y+z)\\\\ G+T=F(x,y,z)=(9x-y-2z,4x-7y+9z)$

A) Para V ser transformação Linear deve satisfazer:

i) 0∈F

ii) Seja u,v vetores de R³ então:

F(u+v)=F(u)+F(v)

iii) F(λv)=λF(v)

I) F(0,0,0)=(0,0)  assim 0∈F

ii)

$v=(x_1,y_1,z_1)\\u=(x_2,y_2,z_2)\\\\F(v+u)=T(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)=(9(x_1+x_2)-(y_1+y_2)-2(z_1+z_2),4(x_1+x_2)-7(y_1+y_2)+9(z_1+z_2))\\F(v+u)=(9x_1-y_1-2z_1,4x_1-7y_1+9z_1)+(9x_2-y_2-2z_2,4x_2-7y_2+9z_2)=F(v)+F(u)$

  iii) F(λu)=T(λx,λy,λz)=(9λx-λy-2λz,4λx-7λy+9λz)=λ(9x-y-2z,4x-7y+9z)=λF(v)

Está Provado!

B)Núcleo de F = Ker(F).

São os vetores de R³ que tem F=0

$F(x,y,z)=(0,0)\\\left \{ {{9x-y-2z=0} \atop {4x-7y+9z=0}} \right. \\\\\left \{ {{-63x+7y+14z=0} \atop {4x-7y+9z=0}} \right. (somando)\\\\-59x+23z=0\\\\z=\frac{59}{23}x\\\\ y=\frac{89}{23}x$

Assim os Vetores do Ker(F) tem a seguinte forma:

$v=x(1,\frac{89}{23} ,\frac{59}{23} )$

Assim:

Ker(F)={(23,89,59)}

(Veja que são L.I)

C)Pelo teorema da Dimensão:

Dim R³ = Dim Ker(F) + Dim Im(F)

3=1+Dim Im(F)

Dim Im(F)= 2

Basta tomar base canônica:

Im(F)={(1,0);(0,1)}