Question

determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado
f(x,y,z)=x²y³z² no ponto (1,1,1)

Answer 1

a taxa de variação máxima é encontrada na direção do vetor gradiente

$\boxed{\boxed{ \vec \nabla f(p) = \frac{\partial f(p)}{\partial x} , \frac{\partial f(p)}{\partial y} , \frac{\partial f(p)}{\partial z} }}$


aplicando isso:

$f(x,y,z) = x^2*y^2*z^2\\\\ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x} = 2x*y^2*z^2\ \to \frac{\partial f(1,1,1)}{\partial x} =2*1^2*1^2 =2\\\\ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y} =x^2*2y*z^2 \to \frac{\partial f(1,1,1)}{\partial y} =2\\\\ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x} =x^2*y^2*2z\to \frac{\partial f(1,1,1)}{\partial z} =2\\\\\boxed{\boxed{ \vec \nabla f(1,1,1) = (2,2,2)}}$

a taxa de variação maxima ocorre nessa direçao 
e o seu valor é igual ao modulo do vetor gradiente
então:
$||\vec \nabla f(1,1,1) ||= \sqrt{2^2+2^2+2^2} = \sqrt{12}$