Question

Determine a soma dos valores absolutos dos algarismos do menor número natural que satisfaz às seguintes condições:

1) O resto da sua divisão por 6 é 5;
2) O resto da divisão do seu antecessor por 5 é 3;
3) O seu sucessor é múltiplo de 4

OBS.: Por favor, gostaria de entender o raciocínio passo-a-passo dessa questão.
Se der pra utilizar álgebra e equacionar essa questão seria ótimo. Obrigado desde já!

Answer 1

Resposta: 14

Explicação passo a passo:

Seja $n$ o número natural procurado que satisfaz as condições dadas.

De acordo com as informações do enunciado, devemos ter

     $n=6q_1+5\qquad\mathrm{(i)}$

     $n-1=5q_2+3\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=5q_2+3+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=5q_2+4\qquad\mathrm{(ii)}$

     $n+1=4q_3\qquad\mathrm{(iii)}$

sendo $q_1,\,q_2,\,q_3$ inteiros.

Por (i) e (ii), perceba que se adicionarmos uma unidade ao valor de $n,$ obtemos um número que também é múltiplo de 5 e múltiplo de 6:

      $\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}n+1=6q_1+5+1\\\\ n+1=5q_2+4+1\\\\ n+1=4q_3 \end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}n+1=6q_1+6\\\\ n+1=5q_2+5\\\\ n+1=4q_3 \end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}n+1=6(q_1+1)\\\\ n+1=5(q_2+1)\\\\ n+1=4q_3 \end{array}\right.$

Portanto, $n+1$ é um múltiplo comum entre 4, 5 e 6. Como queremos o menor valor possível para $n,$ devemos ter

      $\Longrightarrow\quad n+1=\mathrm{mmc}(4,\,5,\,6)=60\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=60-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=59\qquad\checkmark$

A soma dos valores absolutos dos algarismos de $n$ é

      $5+9=14\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos! :-)