Question

Determine a soma dos valores absolutos dos algarismos do menor número natural que satisfaz às seguintes condições:

1° - O resto da sua divisão por 6 é 5
2° - O resto da divisão do seu antecessor por 5 é 3
3° - O ser sucessor é múltiplo de 4

a) 5
b) 6
c) 11
d) 14
e) 15

Answer 1

Os números que satisfazem a 1º condição

múltiplos de 6 + 5 = (5,11,17,23,29,35,41,47,53,59,...)

59 satisfaz 

59 ÷ 6= 9 com resto 5

antecessor de 59  ⇒ 58 ÷ 5 = 11 resto 3

sucessor ⇒ 60 que é múltiplo de 4 pois 60 ÷ 4=15

soma dos valores absolutos de 59 = 5 + 9 =14  ⇒ letra D

Answer 2

Resposta: alternativa d) 14.

Explicação passo a passo:

Seja $n$ o número natural procurado que satisfaz as condições dadas.

De acordo com as informações do enunciado, devemos ter

     $n=6q_1+5\qquad\mathrm{(i)}$

     $n-1=5q_2+3\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=5q_2+3+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=5q_2+4\qquad\mathrm{(ii)}$

     $n+1=4q_3\qquad\mathrm{(iii)}$

sendo $q_1,\,q_2,\,q_3$ inteiros.

Por (i) e (ii), perceba que se adicionarmos uma unidade ao valor de $n,$ obtemos um número que também é múltiplo de 5 e múltiplo de 6:

      $\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}n+1=6q_1+5+1\\\\ n+1=5q_2+4+1\\\\ n+1=4q_3 \end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}n+1=6q_1+6\\\\ n+1=5q_2+5\\\\ n+1=4q_3 \end{array}\right.\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}n+1=6(q_1+1)\\\\ n+1=5(q_2+1)\\\\ n+1=4q_3 \end{array}\right.$

Portanto, $n+1$ é um múltiplo comum entre 4, 5 e 6. Como queremos o menor valor possível para $n,$ devemos ter

      $\Longrightarrow\quad n+1=\mathrm{mmc}(4,\,5,\,6)=60\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=60-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad n=59\qquad\checkmark$

A soma dos valores absolutos dos algarismos de $n$ é

      $5+9=14\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos! :-)