Question

Determine a soma dos valores absolutos de todos os valores de $\mathsf{x}$ que satisfazem a equação abaixo:

$\mathsf{(2 + \sqrt{3})^x + (2 - \sqrt{3})^x = 4}$

Answer 1

Note que

$(2+\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})=2^{2}-(\sqrt{3})^{2}=4-3=1\\\\\therefore~\boxed{\boxed{2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3})^{-1}}}}$

Portanto,

$(2-\sqrt{3})^{x}=[(2-\sqrt{3})]^{x}=[(2+\sqrt{3})^{-1}]^{x}=(2+\sqrt{3})^{-x}$
_____________________

$(2+\sqrt{3})^{x}+(2-\sqrt{3})^{x}=4\\\\(2+\sqrt{3})^{x}+(2+\sqrt{3})^{-x}=4$

Multiplicando todos os membros da igualdade por $(2+\sqrt{3})^{x}$:

$(2+\sqrt{3})^{x}(2+\sqrt{3})^{x}+(2+\sqrt{3})^{-x}(2+\sqrt{3})^{x}=4(2+\sqrt{3})^{x}\\\\(2+\sqrt{3})^{x+x}+(2+\sqrt{3})^{x-x}=4(2+\sqrt{3})^{x}\\\\(2+\sqrt{3})^{2x}+1=4(2+\sqrt{3})^{x}\\\\\big[(2+\sqrt{3})^{x}\big]^{2}-4(2+\sqrt{3})^{x}+1=0$

Podemos tratar essa igualdade como uma equação do segundo grau com variável $y=(2+\sqrt{3})^{x}$

Encontrando as soluções de $y^{2}-4y+1=0$:

$y=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2}=\dfrac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4\pm2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}$

A equação possui duas raízes reais $y_{1}=2+\sqrt{3},~y_{2}=2-\sqrt{3}$

Portanto, os valores de x que satisfazem a equação são dados por

$y_{1}=(2+\sqrt{3})^{x_{1}}=2+\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{1}~~~~\Rightarrow~~\boxed{\boxed{x_{1}=1}}\\\\y_{2}=(2+\sqrt{3})^{x_{2}}=2-\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{-1}~~\Rightarrow~~\boxed{\boxed{x_{2}=-1}}$

Daí, a soma dos valores absolutos das soluções da equação é

$|x_{1}|+|x_{2}|=|1|+|-1|=|1|+|1|=1+1~~\Rightarrow~\boxed{\boxed{|x_{1}|+|x_{2}|=2}}$