Question

Determine a soma dos números associados às proposições verdeiras:
Imagem abaixo !

Answer 1

Resposta:

01+02+04+08+16=31

Explicação passo-a-passo:

01)

$log_{0,25}\:32 = x\\ \\log_{\frac{1}{4}}\:32 = x \\ \\ log_{{(\frac{1}{2})}^2}\:32 = x \\ \\ log_{({2}^{-1})^{2}}\:32 = x \\ \\log_{{2}^{-2}}\:32 = x \\ \\ {({2}^{-2})}^{x} = 32 \\ \\ {2}^{-2x} = 32 \\ \\ {2}^{-2x} = {2}^{5} \\ -2x = 5 \\ x = - \frac{5}{2}$

PROPOSIÇÃO CORRETA

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02) Primeiramente, precisamos nos lembrar desta propriedade logarítmica:

$log\:({\frac{x}{y}}) =log\:x -log\:y$

Com isso, temos que:

$log\:({\frac{{a}^{3}}{{b}^{2}.\sqrt{c}}}) =log\:({a}^{3}) -log\:({b}^{2}.\sqrt{c})$

Além disso, precisamos saber que:

$log\:{(x.y)} =log\:x +log\:y$

Dessa forma:

$log\:({a}^{3}) -log\:({b}^{2}.\sqrt{c}) = log\:({a}^{3}) - [log\:({b}^{2}) + log\:(\sqrt{c})] = log\:({a}^{3}) - log\:({b}^{2}) -log\:(\sqrt{c})$

Em seguida, é necessário lembrar disto:

$\sqrt{x} = {x}^{\frac{1}{2}}$

Portanto:

$log\:({a}^{3}) - log\:({b}^{2}) -log\:(\sqrt{c}) = log\:({a}^{3}) - log\:({b}^{2}) -log\:({c}^{\frac{1}{2}})$

Outra propriedade da qual precisamos nos recordar é a seguinte:

$log\:{({x}^{n})} =n.log\:x$

Assim:

$log\:({a}^{3}) - log\:({b}^{2}) -log\:({c}^{\frac{1}{2}}) = 3.log\:a - 2.log\:b - \frac{1}{2}.log\:c$

PROPOSIÇÃO CORRETA

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04) Correto. Essa é a relação utilizada para mudar a base de um logaritmo. Por exemplo, se desejamos passar $log_2\:3$ para a base 10, temos que $log_2\:3 = \frac{log\:3}{log\:2}$.

PROPOSIÇÃO CORRETA

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08)

${4}^{x} - {2}^{x} = 56 \\ \\{({2}^{2})}^{x} - {2}^{x} = 56 \\ \\ {({2}^{x})}^{2} - {2}^{x} - 56 = 0$

Chegamos a uma equação biquadrada. Para dar continuidade aos cálculos, consideramos que ${2}^{x} = y$:

${y}^{2} - y - 56 = 0 \\ \\ y' = -7 \\ \\ y" = 8$

Agora que encontramos os valores de y, retomamos a igualdade ${2}^{x} = y$:

• Para y = -7, temos que ${2}^{x} = -7$. Porém, não há nenhum valor real x ao qual se eleva 2 para resultar em -7. Logo, descartamos tal equação.

• Para y = 8, obtemos ${2}^{x} = 8$. Assim, ${2}^{x} = {2}^{3}$, isto é, $x = 3$.

S = {3}

PROPOSIÇÃO CORRETA

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16) Na inequação ${(\frac{2}{3})}^{-2,3} > {(\frac{2}{3})}^{1,7}$, para cortar a base, temos que mudar o sinal da inequação, pois essa base é um valor compreendido entre 0 e 1.

A mudança de sinal da inequação consiste em trocar o sinal de "maior que" (>) pelo de "menor que" (<).

Assim, temos que $-2,3 < 1,7$, o que é verdadeiro.

PROPOSIÇÃO CORRETA