Question

determine a soma dos multiplos de 5 compreendido entre 8 e 198

Answer 1

O primeiro número desta sequencia é o 10, que é o primeiro múltiplo do intervalo dado, sendo 195 o último.

Eles formam a PA(5,10,15,20,....195)

 

 

sabe-se que a1=5, an=195 e r=5, então usando-se a Fórmula do Termo Geral das PA´s:

 

 

$<var>195=5+(n-1)\cdot 5\rightarrow 195=5+5n-5\rightarrow 5n=195\rightarrow n=\frac{195}{5}=</var>$ 

n=39

 

 

Agora vamos à soma dos termos:

 

$<var>S_{39}=\frac{(5+195)\cdot39}{2}=\frac{200\cdot39}{2}=100\cdot39=3900</var>$ 

 

 

Answer 2

No intervalo $[8, 198]$, o menor múltiplo de $5$ é $10=2\times5$ e o maior é $195=39\times5$.

 

Observe que, a soma desses múltiplos é $\text{S}=10+15+20+\dots+195$.

 

Podemos escrever, $\text{S}=2\times5+3\times5+4\times5+\dots+39\times5$.

 

Cada uma destas parcelas possui um fator $5$, colocando em evidência, temos:

 

$\text{S}=5\cdot(2+3+4+\dots39)$

 

Observe que, a soma dos números do intervalo $[1,\text{n}]$ é $\dfrac{\text{n}\cdot(\text{n}+1)}{2}$.

 

Desta maneira, a soma dos números do intervalo $[2,39]$ é $\dfrac{39\cdot(39+1)}{2}=39\cdot20=780$.

 

Logo, a soma dos múltiplos de $5$ compreendidos entre $8$ e $198$ é $\text{S}=5\cdot780=3~900$.