Question

determine a soma dos múltiplos de 15 entre 100 10.000

Answer 1

Primeiro múltiplo é  105 = a1 = ( 15 x 7 = 105 )
Maior múltiplo é  9990 = an = ( 15 x 666 = 9990 )
Razão = 15

===

Encontrar a quantidade de múltiplos:

an = a1 + (n – 1) . r
9990 = 105 + ( n - 1). 15
9990 = 105 + 15n - 15
9990 = 90 + 15n
9900 = 15n
n = 9900 / 15
n = 660

Entre 100 e 10.000 há 660 múltiplos de 15

===

Soma:

Sn = ( a1 + an ) . n /  2
Sn = (105 + 9990 ) . 660  /  2
Sn = 10095 . 660  /  2
Sn = 6662700  /  2
Sn = 3.331.350

Answer 2

๏ Primeiro termo: considere o quociente inteiro somado mais 1 multiplicado por 15.

100 |__15__
 -90      6
------
 (10)                                       15×(6+1) = 15×7 = 105

๏ Ultimo termo: considere o quociente inteiro multiplicado por 15.

10000 |__15__
-90      666
------
 100
  -90
 ------
  100
   -90
  ------
   (10)                                     15×666 = 15×666 = 9990

Os múltiplos de 15 entre 100 e 10.000 são:

$\mathsf{\left(105,120,135,...,9990\right)}$

A sequência acima é determinada como sendo uma Progressão Aritmética (PA), cuja razão é 15.

Antes de efetuarmos a soma de todos os termos devemos saber o numero de termos. Substituindo os dados na formula geral da P.A:

$\mathsf{a_n=a_k+\left(n-k\right)r}\\\mathsf{a_n=a_1+\left(n-1\right)r}\\\mathsf{9990=105+\left[\left(n-1\right)\cdot \:15\right]}\\\mathsf{9990=105+15n-15}\\\mathsf{9990=90+15n}\\\mathsf{15n=9990-90}\\\mathsf{15n=9900}\\\\\mathsf{n=\dfrac{9900}{15}}\\\\\mathsf{n=660}$

A soma dos termos da P.A é:

$\mathsf{S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}}\\\\\\\mathsf{S_{660}=\dfrac{\left(a_1+a_{660}\right)\cdot 660}{2}}\\\\\\\mathsf{S_{660}=\dfrac{\left(105+9990\right)\cdot 660}{2}}\\\\\\\mathsf{S_{660}=\left(105+9990\right)\cdot 330}\\\\\\\mathsf{S_{660}=10095\cdot 330}\\\\\\\boxed{\mathsf{S_{660}=3.331.350}}\: \: \checkmark$