Question

Determine a soma dos cinco primeiros termos de uma PG em que o quinto termo é -81 e a razão é igual a -1.​

Answer 1

Uma PG (Progressão Geométrica) é uma sequência de números em que cada termo é formado pela multiplicação do termo anterior com uma constante (esta chamamos de razão)

$~~$

Para essa questão devemos aplicar a fórmula do termo geral da PG:

• $\sf a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

E a fórmula da soma dos termos da PG:

• $\sf S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}$

Nelas temos:

• an = posição do termo
• Sn = soma dos termos
• a1 = primeiro termo
• q = razão
• n = número de termos

$~~$

$\underbrace{Veja:}$

O enunciado da questão nos deu o quinto termo an (a5) = − 81 assim temos n = 5, e a razão q = − 1. O objetivo aqui é determinar a soma dos 5 termos iniciais, mas antes precisamos descobrir o primeiro termo:

$\Rightarrow~~\sf a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

$\Leftrightarrow~\sf -81=a_1\cdot (-1)^{5-1}$

$\Leftrightarrow~\sf -81=a_1\cdot (-1)^4$

$\Leftrightarrow~\sf -81=a_1\cdot 1$

$\therefore~~\boxed{\sf a_1=-81}$

$~~$

Agora que temos a1 = − 81 vamos calcular a soma dos primeiros 5 termos desta PG:

$\Rightarrow~~\sf S_n=\dfrac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}$

$\Leftrightarrow~~\sf S_{5}=\dfrac{-81\cdot((-1)^3-1)}{(-1)-1}$

$\Leftrightarrow~~\sf S_{5}=\dfrac{-81\cdot(-1-1)}{-1-1}$

$\Leftrightarrow~~\sf S_{5}=\dfrac{-81\cdot(-2)}{-2}$

$\Leftrightarrow~~\sf S_{5}=\dfrac{162}{-2~~}$

$\therefore~~\boxed{\boxed{\sf S_{5}=-81}}$

$~~$

Resposta: a soma dos 5 termos iniciais resulta em − 81

$~~$

Att. Nasgovaskov

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