Question

determine a soma do seguinte PG infinita (4,2,1/2...)s = 8​

Answer 1

Uma série geométrica infinita é a soma de uma sequência geométrica infinita. Esta série não terá um termo final. A forma geral da série geométrica infinita é a $a_1+a_1 r+a_1 r^2+ a_1r^3+\dots$ , onde $a_1$ é o primeiro termo e r é a relação comum.

Podemos encontrar a soma de todas as séries geométricas finitas. Mas no caso de uma série geométrica infinita quando a razão comum for maior que um, os termos da sequência ficarão cada vez maiores e se você somar os números maiores, não obterá uma resposta final. A única resposta possível será infinita. Assim, não tratamos da relação comum maior que um para uma série geométrica infinita.

Se a razão comum r estiver entre –1 e 1, podemos obter a soma de uma série geométrica infinita. Ou seja, a soma existe para | r | < 1.

A soma S de uma série geométrica infinita com –1 < r < 1 é dada pela fórmula:

$S =\dfrac{a_1}{r-1}$

Queremos encontrar a soma de todos os infinitos termos da seguinte progressão geométrica (4,2,1/2...), podemos ver que o primeiro termo é igual a 4 e outra coisa que podemos verificar é que o a progressão geométrica diminui o valor de seus termos à medida que a posição destes vai aumenta.

A razão com que cada termo diminui é menor que 1, pois se fosse maior que 1, o valor de cada termo aumentaria e podemos verificar que o valor de cada termo nem está aumentando, e mais ainda, estão diminuindo com uma certa razão.

Para determinar essa razão podemos dividir o termo $an n$ pelo termo $a_{n-1}$. Vamos dividir o segundo termo da progressão geométrica pelo seu termo anterior, ou seja, vamos dividi-lo pelo primeiro termo da progressão e se fizermos isso obtemos o valor da razão, que no nosso caso é igual a:

$r=\dfrac{2^{\div 2}}{4^{\div 2}}= \dfrac{1}{2}$

Podemos ver que a razão é igual a 1/2, então sabendo o valor da razão de nossa progressão geométrica podemos concluir que a soma de seus infinitos termos é igual a:

$S =\dfrac{4}{\dfrac{1}{2}-1}\\\\ S =\dfrac{4}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{2}}\\\\ S =\dfrac{4}{\dfrac{1}{2}}$

Para realizar esta divisão aplicamos a regra da herraruda, este método caracteriza-se por inverter a segunda fração passando o numerador para a posição do denominador e o denominador para a posição do numerador, e o quociente da nova fração será obtido pela multiplicação dos numeradores e denominadores.

$S=\dfrac{\dfrac{4}{1}}{\dfrac{1}{2}}\\\\ Aplicando ~a ~regra ~da ~herradura:\quad S =\dfrac{4\cdot 2}{1}\\\\ S =\dfrac{8}{1}\\\\ \boxed{S=8}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta }$