Question

determine a soma de todos os números naturais que não sejam múltiplos de 2 e 3 e estajam compreendidos entre 100 e 700

Answer 1

Veja,se queremos a soma dos números entre 100 e 700, que sejam múltiplos de 2 e 3, então estamos querendo os múltiplos de 6 (2*3 = 6). 

Veja que o primeiro múltiplo de 6, logo após o 100 é o número 102. E o último número, imediatamente antes de 700, que é múltiplo de 6, é o número 696. 
Assim, temos uma PA com a seguinte conformação: 

(102, 108, 114, 120..........696) 
Veja que se trata de uma PA, cujo primeiro termo é 102, cuja razão é igual a 6 (pois os múltiplos de 6 ocorrem de 6 em 6 unidades) e cujo último termo é igual a 696. 
Antes de calcularmos a soma, vamos calcular qual é o número de termos dessa PA, pela fórmula do termo geral, que é dada por: 

an = a1 + (n-1)*r -----fazendo as devidas substituições, temos: 

696 = 102 + (n-1)*6 
696 = 102 + 6n - 6 
696 = 96 + 6n 
696 - 96 = 6n 
600 = 6n, ou , invertendo: 
6n = 600 
n = 600/6 
n = 100 <----Esse é o número de termos que são múltiplos de 6 e estão no intervalo de 100 a 700. 

Agora vamos para a soma dos termos, que é dada por: 

Sn = (a1 + an)*n/2 ------fazendo as devidas substituições, temos: 

S100 = (102 + 696)*100/2 
S100 = (798)*100/2 
S100 = 798*100/2 
S100 = 79.800/2 
S100 = 39.900 <----Pronto. Essa é a resposta. Essa é a soma dos múltiplos de 6, compreendidos entre 100