Question

Determine a soma das raízes da equação tg²x = 3 no intervalo [0,2pi]

Answer 1

Resolver a equação

$\mathrm{tg}^{2\,}x=3$

com $x \in \left[\,0,\,2\pi\, \right ]$.


$\mathrm{tg}^{2\,}x=3\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\pm \sqrt{3}\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\sqrt{3}\;\;\text{ ou }\;\;\mathrm{tg\,}x=-\sqrt{3}$

Agora temos que resolver separadamente as duas equações acima. Depois unimos todas as soluções:


a) $\mathrm{tg\,}x=\sqrt{3}$

$x=\frac{\pi}{3}+k\pi$

onde $k$ é um inteiro.


$\bullet\;\;$ para $k=0$

$x=\frac{\pi}{3}$


$\bullet\;\;$ para $k=1$

$x=\frac{\pi}{3}+\pi\\ \\ x=\frac{\pi+3\pi}{3}\\ \\ x=\frac{4\pi}{3}$


b) $\mathrm{tg\,}x=-\sqrt{3}$

$x=\frac{2\pi}{3}+k\pi$


$\bullet\;\;$ para $k=0$

$x=\frac{2\pi}{3}$


$\bullet\;\;$ para $k=1$

$x=\frac{2\pi}{3}+\pi\\ \\ x=\frac{2\pi+3\pi}{3}\\ \\ x=\frac{5\pi}{3}$


A soma das raízes da equação no intervalo $\left[\,0,\,2\pi\, \right ]$ é

$\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}+\frac{5\pi}{3}\\ \\ =\frac{\pi+4\pi+2\pi+5\pi}{3}\\ \\ =\frac{12\pi}{3}\\ \\ =4\pi$