Question

Determine a soma das raízes da equação log₂ (sen x) - log₂ (cos x + sen x) = 0 , contidas no intervalo [-2π , 2π].

Meu processo:

sen x / cos x + sen x = 2° ⇒
sen x / cos x + sen x = 1 ⇒
sen x = cos x + sen x
cos x = 0

x= π/2 ou x= 3π/2

Σx = 2 π

Gabarito: -π

Qual a explicação?

Answer 1

Resposta: Soma = - pi

Explicação passo-a-passo:

Você desconsiderou algumas soluções. Perceba que o intervalo é [- 2pi, 2pi] e também é sabido que existem mais valores (distintos de pi/2 e 3pi/2) que zeram o cos(x) nele. Lembre-se também da condição de existência do logaritmando, que afirma que ele deve ser sempre positivo. Em questões com intervalo desse tipo, o melhor a se fazer é jogar a expressão trigonométrica geral (solução) numa dupla desigualdade, em que os extremos da igualdade dupla coincide com os extremos do intervalo considerado. Parece difícil o processo, mas você vai perceber que não é complexo. Assim sendo, após igualar os dois logaritmos de mesma base, obteremos a seguinte equação trigonométrica:

sen(x) = cos(x) + sen(x) =

sen(x) - sen(x) = cos(x) + sen(x) - sen(x) =>

0 = cos(x) + 0 =>

cos(x) = 0 =>

cos(x) = cos(pi/2) =>

x = pi/2 + 2kpi, k inteiro (i)

ou

x = - pi/2 + 2kpi, k inteiro (ii)

Reunindo as soluções parciais (i) e (ii), temos a seguinte solução final:

x = pi/2 + kpi, k inteiro (iii)

É sabido que todos os infinitos arcos que zeram o cos(x) são obtidos a partir da expressão trigonométrica acima (para valores arbitrários do inteiro k), com isso nos interessa apenas os arcos que anulam cos(x) e que estejam no intervalo real [- 2pi, 2pi]. Logo, procederemos tal como dito no início da explicação, de modo a encontrar todas as possíveis soluções da equação (nem todos os valores que zeram cos(x) são soluções, devido a condição de existência do logaritmando). Continuando, teremos:

- 2pi <= x <= * 2pi =>

- 2pi <= pi/2 + kpi <= 2pi =>

- 2pi <= pi(1/2 + k) <= 2pi =>

- 2 <= 1/2 + k <= 2 =>

- 2 - 1/2 <= 1/2 - 1/2 + k <= 2 - 1/2 =>

- 5/2 <= k <= 3/2 =>

- 2, 5 <= k <= 1, 5 e k é inteiro =>

k = - 2, k = - 1, k = 0 e k = 1

Substituindo em (iii)...

Para k = - 2

x = pi/2 + (- 2)pi = - 3pi/2 (Solução Válida!)

Para k = - 1

x = pi/2 + (- 1)pi = - pi/2

(Não é solução. O valor zera cos(x), porém viola a condição de existência do logaritmando)

Para k = 0

x = pi/2 + 0pi = pi/2 (Solução Válida!)

Para k = 1

x = pi/2 + pi = 3pi/2

(Não é solução. O valor zera cos(x), porém viola a condição de existência do logaritmando)

As soluções serão pi/2 e - 3pi/2, e sua soma S será:

S = pi/2 + (- 3pi/2) =>

S = pi/2 - 3pi/2 =>

S = (pi - 3pi)/2 =>

S = (- 2pi)/2 =>

S = - pi

* O símbolo “<=” lê-se: “menor ou igual”

Abraços!