Question

 Determine a soma das raízes da equação a seguir.
1$\frac{ 16^{x} +64 }{5} = 4^{x+1}$

Answer 1

Olá Bruna,

dada a equação exponencial:

$\dfrac{16^x+64}{5}=4^{x+1}$

vamos aplicar as propriedades da potenciação:

$16^x+64=5*4^{x+1}\\ (4^2)^x+64=5*4^x*4^1\\ (4^x)^2+64=5*4*4^x\\ (4^x)^2+64=20*4^x$

Usando uma variável auxiliar, fazendo $4^x=k$, teremos:

$(k)^2+64=20*(k)\\ k^2-20k+64=0~\to~equac\~ao~do~2^o~grau$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-20)^2-4*1*64\\ \Delta=400-256\\ \Delta=144$

$k= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-(-20)\pm \sqrt{144} }{2*1}= \dfrac{20\pm12}{2}~\to~\begin{cases}k'=4\\ k''=16\end{cases}$

Retomando a variável original, $k=4^x$,

para k=4, x valerá:

$4=4^x\\ \not4^x=\not4^1\\ x=1$


para k=16, x valerá:

$16=4^x\\ \not4^x=\not4^2\\ x=2$

Portanto, o conjunto solução da equação exponencial acima é:

$\boxed{S=\{1,2\}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))