Question

Determine a solução real da equação:

log de (18+3^[2x+1]) na base 3 igual a 4x

A resposta no gabarito é:

1/2 log de 6 na base 3.

Alguém consegue chegar no resultado?

Answer 1

$\log_3 (18+3^{2x+1})=4x$


•    Condições de existência:

Para todo $x$ real, o logaritmando é sempre maior que 18:

$3^{2x+1}>0\\\\ 18+3^{2x+1}>18$


Logo, a condição de existência é $x\in \mathbb{R}.$

_________

Resolvendo a equação.

$\log_3 (18+3^{2x+1})=4x\\\\ 3^{4x}=18+3^{2x+1}\\\\ 3^{2x\,\cdot\, 2}=18+3^{2x}\cdot 3^1\\\\ (3^{2x})^2=18+3\cdot 3^{2x}$


Faça a seguinte mudança de variável:

$3^{2x}=t~~~~(t>0)$


e a equação fica

$t^2=18+3t\\\\ t^2-3t-18=0~~~~~~\Rightarrow~~\left\{\! \begin{array}{l}a=1\\b=-3\\c=-18 \end{array} \right.\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-18)\\\\ \Delta=9+72\\\\ \Delta=81\\\\ \Delta=9^2$

$t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ t=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{9^2}}{2\cdot 1}\\\\\\ t=\dfrac{3\pm 9}{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl} t=\dfrac{3+9}{2}&~\text{ ou }~&t=\dfrac{3-9}{2}\\\\ t=\dfrac{12}{2}&~\text{ ou }~&t=\dfrac{-6}{2}\\\\ t=6&~\text{ ou }~&t=-3~~(\text{n\~ao serve})\end{array}$


Então, devemos ter

$t=6$


Voltando à variável $x,$ ficamos com

$3^{2x}=6\\\\ \log_3(3^{2x})=\log_3 6\\\\ 2x\cdot \log_3 3=\log_3 6\\\\ 2x\cdot 1=\log_3 6\\\\ 2x=\log_3 6\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}x=\dfrac{1}{2}\log_3 6 \end{array}}$


Conjunto solução:  $S=\left\{\dfrac{1}{2}\log_3 6 \right\}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)