Question

Determine a solução geral da seguinte equação diferencial:
y'+2y'+5y = 6 sen(2x) + 7 cos(2x)

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$y'' + 2y' + 5y = 6 \sin(2x)+7 \cos(2x)$

Note que esta equação diferencial de segunda ordem não é homogênea, já que não está igualada a 0. Para a resolução vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar que se baseia em uma "suposição" de solução particular.

Equação diferencial de segunda ordem não homogênea.

Como sabemos a solução de uma EDO não homogênea de segunda ordem é dada pela soma da solução da equação homogênea associada e a solução particular.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: y = y_h + y_p \: \bullet$

Solução da equação homogênea associada.

A equação homogênea associada é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y'' + 2y' + 5y = 0$

Para a resolução desta basta utilizar o método dos coeficientes a determinar, onde a equação vira basicamente de segundo grau.

$m ^{2} + 2m + 5 = 0 \: \to \: \: m = \frac{ - 2 \pm \sqrt{2 {}^{2} - 4.1. } }{2.1} \\ \\ m = \frac{ - 2 \pm \sqrt{ - 16} }{2} \: \: \to \: \: \begin{cases}m_{1} = - 1 + 2i \\m_{2} = - 1 - 2i\end{cases}$

Quando a solução da equação do segundo grau é complexa, sabemos que:

$y = e {}^{ \alpha x} c_{1} \cos( \beta x) + e {}^{ \alpha x} c_{2} \sin( \beta x)$

Lembrando que o valor de Alpha e beta são encontrados na solução do 2° grau.

$m = \alpha \: \pm \: \beta i \: \: \to \: \: m = \underbrace{- 1} _{ \alpha} \pm \underbrace{2} _{ \beta} i$

Substituindo na relação logo acima.

$\boxed{y_h = e {}^{ - x} c_{1} \cos(2x) + e {}^{ - x} c_{2} \sin(2x)}$

Portanto esta é a solução da homogênea associada.

Solução particular:

Para a suposição de solução, vamos utilizar a soma do seno e cosseno, já que a derivada do seno é o cosseno e o cosseno é o seno.

$\: \: \: \: y_p = A\sin(2x)+B\cos(2x)$

Ahora devemos derivar esta solução duas vezes para substituirmos na equação diferencial.

$y'_p = A. \cos(2x).2+ B.( - \sin(2x).2) \\ y'_p = 2A. \cos(2x) - 2 B. \sin(2x) \\ \\ y''_p = 2A.( - \sin(2x).2) - 2B. \cos(2x).2\\ y''_p = - 4A. \sin(2x) - 4B. \cos(2x)$

Substituindo na equação diferencial:

$- 4A. \sin(2x) - 4B. \cos(2x) + 2. [ 2A. \cos(2x) - 2 B. \sin(2x)] + 5. [ A. \sin(2x)+B. \cos(2x) ] = 6 \sin(2x) + 7 \cos(2x) \\ \\ - 4A. \sin(2x) - 4B. \cos(2x) + 4A. \cos(2x) - 4B. \sin(2x) + 5A. \sin(2x)+5 B. \cos(2x) = 6 \sin(2x) + 7 \cos(2x) \\ \\ A. \sin(2x) + B. \cos(2x) + 4A. \cos(2x) - 4B. \sin(2x) = 6 \sin(2x) + 7 \cos(2x) \\ \\ \begin{cases} A - 4B = 6 \\4A + B = 7 \end{cases}$

Resolvendo o sistema de equações:

$\begin{cases} A - 4B = 6 \\4 A + B = 7\end{cases} \: \to \: \: \begin{cases} - 4 A + 16B = - 24 \\4A + B =7\end{cases} \\ \\ 17B = - 17 \: \to \: B = - 1 \\ \\ A - 4B = 6 \: \to \: A + 4 = 6 \: \to \: A = 2$

Substituindo os valores de A e B:

$\: \: \: \: \: \: y_p = 2 \sin(2x) - \cos(2x)$

Para finalizar a questão basta fazer a juntar da solução da equação homogênea associada e a solução particular.

$\boxed{ \boxed{ y = e^{ - x} .c_1 \cos(2x) + e^{ - x} .c_2\sin(x) + 2 \sin(2x) - \cos(2x)}}$

Espero ter ajudado.