Question

Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem 3 y ′′ − 3 y ′ − 18 y = 360 .

Answer 1

Resposta:

y = ae^2 x + be^ − 3 x + 20 , a e b reais

Explicação passo a passo:

simulado resposta

Answer 2

Resposta:

A solução geral da equação diferencial é:

$y=c_1\cdot e^{-2x}+c_2\cdot e^{3x}-20$

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos recorrer a solução pelo método dos coeficientes a determinar, pois a equação diferencial não é homogênea.

1º Passo: Resolver a equação característica relacionada a equação diferencial homogênea.

3y'' - 3y' - 18y = 0

3α² - 3α - 18 = 0

α² - α - 6 = 0

Cujas raízes são α' = 3 e α'' = -2.

Portanto, a solução da equação diferencial será da forma:

$y=c_1\cdot e^{-2x}+c_2\cdot e^{3x}+y_p$

Falta determinarmos a função $y_p$ que por ser uma constante é da forma:

$y_p=a$

Derivando duas vezes temos:

$y'_p=0$

$y''_p=0$

Substituindo na equação original obtemos:

$3y''_p - 3y'_p - 18y_p = 360\\\\3\cdot 0-3\cdot 0-18\cdot y_p = 360\\\\y_p=-20$

Por fim temos a solução geral da equação diferencial dada por:

$y=c_1\cdot e^{-2x}+c_2\cdot e^{3x}-20$