Matemática, perguntado por santorlan, 4 meses atrás

Determine a solução geral da equação diferencial
3y′′−3y′−6y=0

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\bf \: y = c_{1} \cdot e {}^{2x} + c_{2} \cdot e {}^{ - x}}$

Temos a seguinte equação:

$\: \: \: \: \boxed{\bf 3 \: . \: \frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2} } - 3 \: . \: \frac{dy}{dx} - 6y = 0 }\\$

Como equações diferenciais de segunda ordem possuem um cálculo relativamente extenso, vamos listar os passos que utilizaremos.

Roteiro:

$\begin{cases}{ \bf1)} \: relembrar \: o \: caso \: dos \: coeficientes \: constantes \\ { \bf2)} \: resolver \: a \: equac \tilde{a}o \: do \: 2 {}^{o} \: associada \\ { \bf3)} \: soluc \tilde{a}o \: geral \end{cases}$

Como foi dito logo acima, devemos lembrar das equações diferenciais de coeficientes constantes, pois estas possuem uma forma bem simples de se resolver, já que tem-se uma equação do segundo grau associada a mesma.

Existem três casos para a solução de uma EDO, levando em consideração o discriminante (∆) da equação associada.

1) Caso 1: Quando $\bf \Delta > 0$ , temos duas raízes reais e distintas. A solução para este tipo de caso é dada por:

$\begin{cases}y = c_1 \cdot e^{m_1x}+c_2\cdot e^{m_2x} \\ m_{1}, m_{2} \: \in \: \mathbb{R} \: \to \: \: m_{1} \neq m_{2}\end{cases}$

2) Caso 2: Quando $\bf \Delta = 0$ , temos duas raízes reais e iguais. A solução este tipo de caso é dada por:

$\begin{cases}y = c_1 \cdot e^{m_1x}+c_2 \: \cdot\: x\cdot e^{m_2x} \\ m_{1}, m_{2} \: \in \: \mathbb{R} \: \to \: \: m_{1} = m_{2}\end{cases}$

3) Caso 3) Quando $\bf\Delta < 0$ , não possuímos raízes no conjunto dos reais, mas sim no conjunto dos complexos. A solução para este tipo de caso é:

$\begin{cases}y = c_1 \cdot e^{ \alpha x} \cdot \cos( \beta x)+c_2 \cdot e {}^{ \alpha x} \cdot \sin( \beta x) \\ \alpha , \beta \: \in \: \mathbb{R {}^{ + } } \: \to \: \: m_{} = \alpha \pm \beta i \end{cases}$

Para partirmos para os cálculos, vamos só relembrar como que utilizamos a equação do segundo grau para solucionar estas questões.

$\: \: \: \boxed{\frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2} } = y {} ^{2} \: \: \bigg| \: \: \frac{dy}{dx} = y \: \bigg | \: y = 1}\\$

Sabendo de tudo isso, vamos inicial de fato os cálculos resolvendo a equação associada.

$3 \: . \: \frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2} } - 3 \: . \: \frac{dy}{dx} - 6y =0 \: \: \: \to \: \: 3 \: . \: y {}^{2} - 3 \: . \: y - 6 = 0 \\ \\ y = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c} }{2.a} \: \to \: y = \frac{3 \pm \sqrt{( - 3) {}^{2} - 4.3.( - 6)} }{2.3} \\ \\ y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72} }{6} \: \to \: y = \frac{3 \pm \sqrt{81} }{6} \: \to \: y = \frac{3 \pm9}{6} \\ \\ y \to \begin{cases}y_{1} = \frac{3 + 9}{6 } \: \to \: \boxed{ y_{1} = 2 } \\ y_{2} = \frac{3 - 9}{6} \: \to \: \boxed{y_{2} = - 1}\\ \end{cases}$