Question

Determine a solução geral

a) (y+2)dx-(x-1)dy=0

Answer 1

Sendo (y + 2)dx - (x - 1)dy = 0, temos que:

(y + 2)dx = (x - 1)dy

Perceba que temos uma equação separável.

Então, deixando os dois lados da equação com a mesma incógnita:

$\frac{dx}{x-1}= \frac{dy}{y+2}$

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação:

$\int\ {\frac{dy}{y+2}}= \int\ {\frac{dx}{x-1}}$

Para integrar $\int\ {\frac{dy}{y+2}}$ , precisamos utilizar o método de substituição.

Sendo u = y + 2, então du = dy.

Assim,

$\int\ {\frac{dy}{y+2}} = \int\ {\frac{du}{u}} =ln(u) = ln(y+2)$

Da mesma forma, para integrar $\int\ {\frac{dx}{x-1}}$ precisamos utilizar o método de substituição.

Sendo v = x - 1, então dv = dx.

Assim,

$\int\ {\frac{dx}{x-1}} = \int\ {\frac{dv}{v}} =ln(v) = ln(x-1)$

Portanto,

ln(x - 1) + c = ln(y + 2)

$e^{ln(x-1)+c} = e^{ln(y+2)}$

$(x-1).e^c = y + 2$

$y = (x - 1).e^c - 2$