Question

Determine a solução da inequação |x-6|+3|x|>50

Answer 1

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Resolver a inequação modular:

$\mathsf{|x-6|+3|x|>50\qquad\quad(i)}$


Encontrando os pontos em que as expressões dos módulos mudam de sentença:

$\mathsf{x-6=0}\\\\ \mathsf{x=6}\qquad\quad\checkmark$


$\mathsf{x=0}\qquad\quad\checkmark$


As expressões dos módulos mudam de sentença nos pontos $\mathsf{x_1=0}$  e  $\mathsf{x_2=6}.$


Vamos resolver a inequação, dividindo o conjunto universo das soluções em intervalos em que as sentenças dos módulos não muda:


•   Caso (I).   Para $\mathsf{x<0:}$

Se  $\mathsf{x<0,}$  então 
 
$\mathsf{x<6~~\Leftrightarrow~~x-6<0~~\Leftrightarrow~~|x-6|=6-x}$


e também

$\mathsf{|x|=-x.}$


Dessa forma, a inequação fica:

$\mathsf{(6-x)+3(-x)>50}\\\\ \mathsf{6-x-3x>50}\\\\ \mathsf{-4x>50-6}\\\\ \mathsf{-4x>44}\\\\ \mathsf{x<\dfrac{44}{-4}}\\\\\\ \mathsf{x<-11}\qquad\quad\checkmark$


Todos os elementos deste invervalo satisfazem a condição para o caso (I). Logo,


Solução para o caso (I):   $\mathsf{S_{(I)}=\left]-\infty,\,-11\right[.}$

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•   Caso (II).   Para $\mathsf{0\le x<6:}$

Aqui, ainda temos

$\mathsf{x<6~~\Leftrightarrow~~x-6<0~~\Leftrightarrow~~|x-6|=6-x}$


mas agora,

$\mathsf{|x|=x},$    pois $\mathsf{x\ge 0.}$


Agora, a inequação fica

$\mathsf{6-x+3x>50}\\\\ \mathsf{2x>50-6}\\\\ \mathsf{2x>44}\\\\ \mathsf{x>\dfrac{44}{2}}\\\\\\ \mathsf{x>22}\qquad\quad\diagup\!\!\!\!\!\diagdown$


Nenhum número $\mathsf{x}$  maior que 22 satisfaz   $\mathsf{0\le x<6.}$  Portanto,


Solução para o caso (I):   $\mathsf{S_{(II)}=\varnothing.}$

(conjunto vazio)

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•   Caso (III).   Para $\mathsf{x\ge 6:}$

Agora, temos

$\mathsf{x-6\ge 0~~\Leftrightarrow~~|x-6|=x-6}$


e continuamos com

$\mathsf{|x|=x,}$    pois $\mathsf{x>0.}$


A inequação neste caso fica

$\mathsf{x-6+3x>50}\\\\ \mathsf{4x>50+6}\\\\ \mathsf{4x>45}\\\\ \mathsf{x>\dfrac{56}{4}}\\\\\\ \mathsf{x>14}\qquad\quad\checkmark$


Todos os elementos deste intervalo satisfazem a condição para o caso (III). Logo,


Solução para o caso (I):   $\mathsf{S_{(III)}=\left]-14,\,+\infty\right[.}$


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A solução para a inequação $\mathsf{(i)}$ dada inicialmente é a união das soluções para os três casos:

$\mathsf{S=S_{(I)}\cup S_{(II)}\cup S_{(III)}}\\\\ \mathsf{S=\left]-\infty,\,-11\right[\,\cup\,\left]14,\,+\infty[.}$


ou caso queira representar na notação usual de conjuntos,

$\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~~x<-11~~ou~~x>14\}.}$


Bons estudos! :-)


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