Question

Determine a solução da inequação X^2 - 4 / X^2 - 5X + 6 > ou igual a 0

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Answer 1

Resposta:

O conjunto solução da inequação é S = {x ∈ R | x ≤ -2 ou x > 3}.

Por favor, acompanhar a Explicação.

Explicação passo a passo:

Para determinarmos a solução da inequação proposta, que reúne, no numerador e no denominador, equações de segundo grau, devemos preparar um diagrama que nos mostre os sinais assumidos pelas equações

Antes, devemos ter em mente que:

• As raízes da equação de segundo grau do denominador não podem fazer parte do conjunto solução da inequação, uma vez que, por definição, o valor do denominador deve ser diferente de zero (x² - 5x + 6 ≠ 0).
• Para a equação que representa o numerador (x² - 4), as suas raízes podem fazer parte da solução da inequação, pois o numerador pode ser igual a zero.

Inequação:

$\frac{x^{2}-4}{x^{2}-5x+6} \geq 0$

Vamos aos passos da solução.

1º Passo: Encontrar as raízes ou zeros da equação que está no numerador:

Numerador: (x² - 4)

Determinação das raízes ou zeros → x² - 4 = 0

x² - 4 = 0

x² = 0 + 4

x² = 4

√x² = ±√4

x = ±2

2º Passo: Fazer, na reta numérica, o gráfico de sinais para a equação do numerador x² - 4:

++++++++++ [-2] ---------- [+2] ++++++++++: as raízes x = -2 e x = 2 fazem parte da solução da inequação dada.

3º Passo: Encontrar as raízes ou zeros da equação que está no denominador:

Denominador: x² - 5x + 6

Determinação das raízes ou zeros → x² - 5x + 6 = 0

x² - 5x + 6 = 0

Resolvendo-se pelo método da Fatoração;

(x - 2).(x - 3) = 0

• (x - 2) = 0 → x - 2 = 0 → x = 0 + 2 → x = 2.
• (x - 3) = 0 → x - 3 = 0 → x = 0 + 3 → x = 3.

4º Passo: Fazer, na reta numérica, o gráfico de sinais para a equação do denominador x² - 5x - 6:

++++++++++ ]+2[ ---------- ]+3[ ++++++++++: as raízes x = 2 e x = 3 não podem fazer parte da solução, uma vez que tornariam o denominador igual a zero.

5º Passo: Encontrar, na reta numérica, os intervalos dos gráficos de sinais para os quais a inequação é maior ou igual a zero:

(numerador): ++++++++++ [-2] ----------- [+2]+++++++++++++++++++++

(denominador): ++++++++++++++++++ ]+2[------------]+3[+++++++++++

(inequação) ≥ 0 ++++++++[-2]-----------]+2[-------------]+3[+++++++++++

5º Passo: Representar o Conjunto Solução da Inequação:

S = {x ∈ R | x ≤ -2 ou x > 3}.