Question

determine a solução da inequação:

$-1\ \textless \ \frac{2-3x}{x+3}\ \textless \ 1$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Lucas, que a resolução é simples,embora um pouco trabalhosa:

- 1 < (2 - 3x)/(x+3) < 1

Vamos transformar a desigualdade acima em duas desigualdades, da seguinte forma:

a) - 1 < (2-3x)/(x+3)
e
b) (2-3x)/(x+3) < 1 .

Agora vamos trabalhar com cada uma das desigualdades acima. Assim, teremos:

i) Trabalhando-se com a desigualdade do item "a", teremos:

- 1 < (2-3x)/(x+3) ----- note que isto é a mesma coisa que:
(2-3x)/(x+3) > -1 ----- passando o "-1" para o 1º membro da desigualdade, teremos:

(2-3x)/(x+3) + 1 > 0 ----- mmc = x+3). Assim, utilizando-o, teremos:

(1*(2-3x) + (x+3)*1)/(x+3) > 0
((2 - 3x) + (x + 3))/(x+3) > 0 ---- retirando-se os parênteses, teremos:
(2 - 3x + x + 3)/(x+3) > 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(- 2x + 5)/(x+3) > 0

Veja que ficamos com uma inequação-quociente constituída por duas equações do 1º grau, cujo resultado terá que ser positivo (> 0). Temos, no numerador,  f(x) = - 2x + 5;  e temos, no denominador,  g(x) = x + 3.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois analisaremos a variação de sinais de cada uma delas e, finalmente, diremos qual é o conjunto-solução da inequação dada. Assim:
f(x) = - 2x + 5 ----> raízes: -2x + 5 = 0 ---> - 2x = - 5 ---> 2x = 5 ---> x = 5/2
g(x) = x + 3 ---> raízes: x+3 = 0 ---> x = - 3.

Agora vamos analisar a variação de sinais:

a) f(x) = - 2x + 5... + + + + + + + + + + + + + + (5/2) - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x + 3 ..... - - - - - - (-3) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) a/b ...................- - - - - - -(-3) + + + + + + + +(5/2) - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja maior do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de mais no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Logo, o intervalo que será o conjunto-solução desta inequação será:

- 3 < x < 5/2         . (I) 


ii) Agora vamos para a segunda desigualdade, que vai ser a do item "b" e que é esta:

(2-3x)/(x+3) < 1 ----- passando "1" para o 1º membro da desigualdade, temos:
(2-3x)/(x+3) - 1 < 0 ----- mmc = (x+3). Assim, utilizando-o, teremos:
((1*(2-3x) - (x+3)*1))/(x+3) < 0
((2-3x) - (x+3))/(x+3) < 0 ---- retirando-se os parênteses, teremos:
(2 - 3x - x - 3)/(x+3) < 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(-4x - 1)/(x+3) < 0

Agora veja: ficamos novamente com uma inequação-quociente constituída por duas equações do 1º grau, sendo: no numerador, temos f(x) = - 4x - 1; e, no denominador, temos g(x) = x + 3.
Vamos fazer a mesma coisa que fizemos para a inequação do item "a", ou seja, calcularemos as raízes de cada equação, estudaremos os sinais de cada uma delas e, finalmente, daremos o conjunto-solução.
Assim:
f(x) = - 4x - 1 ---> raízes: -4x - 1 = 0 ---> - 4x = 1 ---> 4x = - 1 ---> x = - 1/4
g(x) = x + 3 ------> raízes: x + 3 = 0 ---> x = - 3.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas em função de suas raízes. Assim:

a) f(x) = - 4x - 1... + + + + + + + + + + + + (-1/4) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x + 3 ... - - - - - - - (-3) + + + +  + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) a/b ................- - - - - - - -(-3)+ + + + + (-1/4)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja menor do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, teremos:

x < - 3 , ou x > - 1/4        . (II)

iii) Agora faremos o seguinte: marcaremos o que vale para os intervalos (I) e (II) com o símbolo /////////////////. A resposta vai ser a intersecção entre o que vale para cada um dos intervalos. E essa intersecção marcaremos com o símbolo ||||||||||||||||.

Assim, teremos:

(I): - 3 < x < 5/2 ......._____________(-3)/ / / / / / / / / / / / / / / / (5/2)___________
(II): x<-3 , ou x>- 1/4.. / / / / / / / / / / / (-3)______(-1/4)/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
Intersecção...............____________________(-1/4) | | | | | | | | | (5/2) _________

Assim, como você viu, a intersecção ficou entre (-1/4) e (5/2).
Logo, a resposta será:

- 1/4 < x < 5/2 ----- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | - 1/4 < x < 5/2}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-1/4; 5/2).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.