Question

Determine a solução da inequação logarítmica
log1/2 x + log1/2 (x - 2) > -3.


A resposta deveria ser 2 < x < 4, mas não sei como chegar nesse resultado

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos determinar a solução da seguinte inequação logarítmica:

$\log_{\frac{1}{2}}(x)+\log_{\frac{1}{2}}(x-2)>-3$

Primeiro, devemos determinar o alcance dos logaritmandos de acordo com a condição de existência: este deve ser maior que zero.

Logo, temos o seguinte sistema de inequações lineares:

$\begin{cases}x>0\\x-2>0\\\end{cases}$

Some $2$ em ambos os lados da segunda desigualdade

$\begin{cases}x>0\\x>2\\\end{cases}$

Facilmente, a solução deste sistema de inequações é o intervalo definido por $x>2$.

Então, aplicamos a propriedade de logaritmos: $\log_c(a\cdot b)=\log_c(a)+\log_c(b),~0<c\neq1,~a,~b>0$

$\log_{\frac{1}{2}}(x\cdot(x-2))>-3$

Agora, aplicamos a propriedade: $\log_c(a)>b\Rightarrow a<c^b\Leftrightarrow 0<c<1$. Observe que neste caso a base é o número $\dfrac{1}{2}=0{,}5$.

Assim, teremos:

$x\cdot(x-2)<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$

Aplique a propriedade de potências: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n,~\forall a,~b\neq0$

$x\cdot(x-2)<2^3\\\\\\ x\cdot(x-2)<8$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e subtraia $8$ em ambos os lados da desigualdade

$x^2-2x-8<0$

Devemos resolver esta inequação quadrática. Para isso, devemos observar o gráfico da função: veja na imagem em anexo que seu gráfico é uma parábola cuja concavidade está voltada para cima, logo sua imagem é negativa no intervalo compreendido entre suas raízes.

Logo, devemos determinar as raízes da equação. Igualamos o membro do lado esquerdo a zero e utilizamos a fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},~a\neq0$.

$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1}\\\\\\ x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{2\pm\sqrt{36}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{2\pm6}{2}\\\\\\\Rightarrow x=1\pm3$

Separe as soluções e some os valores

$x=1-3~~\bold{ou}~~x=1+3\\\\\\\Rightarrow x=-2~~\bold{ou}~~x=4$

Com isso, $x^2-2x-8<0$ no intervalo definido por $-2<x<4$.

Porém, veja que de acordo com a condição de existência definida ao início da resolução, temos que $x>2$.

Dessa forma, a solução desta inequação logarítmica é a interseção destes intervalos. Seu conjunto solução é:

$\boxed{\bold{S=\{x\in\mathbb{R}~|~2<x<4\}}}$