Question

Determine a solução da inequação -2x^2+7x-3<0

Answer 1

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Resolver a inequação:

$\mathsf{\mathsf{-2x^2+7x-3<0}}$


Vamos fatorar o lado esquerdo da inequação acima. Para isso, vamos encontrar as raízes pela fórmula resolutiva:

$\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=-2}\\\mathsf{b=7}\\\mathsf{c=-3} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=7^2-4\cdot (-2)\cdot (-3)}\\\\ \mathsf{\Delta=49-24}\\\\ \mathsf{\Delta=25}$


$\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-7+\sqrt{25}}{2\cdot (-2)}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-7-\sqrt{25}}{2\cdot (-2)}}\end{array}$

      $\begin{array}{rcl} \mathsf{r_1=\dfrac{-7+5}{-4}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-7-5}{-4}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{-2}{-4}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=\dfrac{-12}{-4}}\\\\ \mathsf{r_1=\dfrac{1}{2}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{r_2=3}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(ra\'izes)} \end{array}$


Então, fatorando o lado esquerdo, a inequação fica

$\mathsf{-2(x-r_1)(x-r_2)<0}\\\\ \mathsf{-2\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-3)<0}$


Dividindo os dois lados por – 2, que é negativo, o sentido da desigualdade se inverte:

(o sinal < torna-se >)

$\mathsf{\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-3)>0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto}$


Montando o quadro de sinais:

$\large\begin{array}{cc} \mathsf{x-\frac{1}{2}}&\quad\mathsf{\underline{~~---}\underset{\frac{1}{2}}{\bullet}\underline{++++}\underset{3}{\bullet}\mathsf{\underline{+++~~}}_\blacktriangleright}\\\\ \mathsf{x-3}&\quad\mathsf{\underline{~~---}\underset{\frac{1}{2}}{\bullet}\underline{----}\underset{3}{\bullet}\mathsf{\underline{+++~~}}_\blacktriangleright}\\\\\\ \mathsf{\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-3)}&\quad\mathsf{\underline{~~+++}\underset{\frac{1}{2}}{\bullet}\underline{----}\underset{3}{\bullet}\mathsf{\underline{+++~~}}_\blacktriangleright} \end{array}$


Como queremos que o lado esquerdo da inequação-produto seja positivo, o intervalo de interesse é

$\mathsf{x<\dfrac{1}{2}~~ou~~x> 3.}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~x< \frac{1}{2}~~ou~~x> 3\right\}}$


ou usando a notação de intervalos

$\mathsf{S=\left]-\infty,\,\frac{1}{2}\right[\,\cup\,\left]3,\,+\infty\right[.}$


Bons estudos! :-)


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