Question

Determine a solução da equação x²+2x-1/x²-1. ≥ 1/x+1

Answer 1

 Olá Maria!

 É muito importante que se saiba o seguinte: em desigualdades/inequações NÃO devemos "multiplicar cruzado", muito alunos cometem este erro. O ideal é que todos os termos fiquem do lado esquerdo da inequação, para que dessa forma, possamos calcular o MMC, reduzir os termos semelhantes, ficar com uma inequação quociente (numerador e denominador).
 
 Veja:

$\\ \mathsf{\frac{x^2 + 2x - 1}{x^2 - 1} \geq \frac{1}{x + 1}} \\\\\\ \mathsf{\frac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)(x - 1)/_{1}} - \frac{1}{(x + 1)/_{(x - 1)}} \geq 0}$
 
$\\ \mathsf{\frac{(x^2 + 2x - 1) \cdot 1 - 1 \cdot (x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} \geq 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{x^2 + 2x - 1 - x + 1}{(x + 1)(x - 1)} \geq 0}$

$\\ \mathsf{\frac{x^2 + x}{(x + 1)(x - 1)} \geq 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} \geq 0}$

 
 Estudemos, agora, os sinais do numerador e do denominador, respectivamente.

Numerador:

___+___[- 1]___-___[0]__+___
  
 Como o sinal da desigualdade é MAIOR, devemos associá-lo ao MAIS;


 Denominador:

___+___(- 1)____-___(1)____+___
 
 Como o sinal da inequação é MAIOR, devemos associá-lo ao MAIS.
 
 Por fim, vamos em busca da intersecção!


__+___[- 1]___-_____[0]___+_______+____
__+___(- 1)___-_________-___(1)___+____
__+___(- 1)___+_____[0]__-___(1)___+____


 Daí, $\boxed{\mathsf{S = \left \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \leq 0 \ \cup \ x > 1, \ x \neq - 1 \right \}}}$ 

 
 Obs.: a bolinha do denominador é aberta, pois não devemos incluir os valores das extremidades (inferior e superior).