Question

Determine a solução da equação diferencial ordinária y" + 3y' = 0 com valores iniciais y(0) = 2 e y' (0) = 3.

Answer 1

Aplicando a transformada de Laplace:

$\mathcal{L}\left[y" + 3 \cdot y'\right] = \mathcal{L}[0]$

$\mathcal{L}\left[y" \right] + 3 \cdot \mathcal{L}\left[y'\right] = 0$

$s^2 \cdot F(s) - s \cdot y(0) - y'(0) + 3 \cdot (s \cdot F(s) - y(0)) = 0$

Isolando F(s) e substituindo os valores iniciais:

$F(s) \cdot (s^2 + 3 \cdot s) = s \cdot 2 + 3 + 3 \cdot 2 = 2 \cdot s + 9$

$F(s) = \dfrac{2 \cdot s + 9}{s \cdot (s + 3)}$

Será preciso utilizar o método das fraçoes parciais para dividir o denominador em duas fraçoes:

$\dfrac{A}{s} + \dfrac{B}{s+3} = \dfrac{2 \cdot s + 9}{s \cdot (s + 3)}$

$A \cdot (s+3) + B \cdot s = 2 \cdot s + 9$

$(A + B) \cdot s + 3 \cdot A = 2 \cdot s + 9$

$3 \cdot A = 9$

$A = 3$

$(3 + B) = 2$

$B = -1$

A expressao fica assim:

$F(s) = \dfrac{3}{s} - \dfrac{1}{s+3}$

Aplicamos agora a transformada inversa de Laplace para retornar ao domínio original:

$\mathcal{L}^{-1}\left[F(s)\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{3}{s}\right] - \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s+3}\right]$

$\boxed{y = 3 - e^{-3 \cdot t}}$