Question

Determine a solução da equação diferencial ordinária y" + 3y' = 0 com valores iniciais y(0) = 2 e y' (0) = 3.
Alternativas
Alternativa 1:
y = -1 + e-x

Alternativa 2:
y = 3 - e-x

Alternativa 3:
y = 1 - e-3x

Alternativa 4:
y = -1 + e-3x

Alternativa 5:
y = 3 - e-3x

Answer 1

A equação diferencial $y'' + 3y' = 0$ pode ser reescrita na forma:

$(\textrm{D}^2 + 3\textrm{D})y = 0,$

onde $\textrm{D}$ representa o operador derivação. Fazendo $\textrm{D}\to\lambda$, obtemos o polinómio característico:

$\lambda^2 + 3\lambda.$

Calculamos então os zeros do polinómio característico:

$\lambda^2+3\lambda=0 \iff \lambda(\lambda+3) = 0 \iff \lambda = 0 \textrm{ ou } \lambda = -3.$

Assim, conclui-se que as soluções da equação diferencial são geradas por:

$\{\textrm{e}^{0x}, \textrm{e}^{-3x}\} = \{1, \textrm{e}^{-3x}\},$

ou seja, a solução geral é:

$y(x) = a + b\textrm{e}^{-3x},$

com $a,b\in\mathbb{R}$, sendo a derivada de $y$ dada por:

$y'(x) = \left(a + b\textrm{e}^{-3x}\right)' = -3b\textrm{e}^{-3x},$

Da condição inicial $y'(0) = 3$, obtemos:

$y'(0)=3 \iff -3b\textrm{e}^{-3\times 0} = 3 \iff -3b = 3 \iff b = -1.$

Substituindo então $b=-1$ e usando a condição inicial $y(0) = 2$, vem:

$y(0) = 2 \iff a - \textrm{e}^{-3\times 0} = 2 \iff a -1 = 2 \iff a = 3.$

A solução do problema de valor inicial é então:

$y(x) = 3-\textrm{e}^{-3x}.$

Resposta: Alternativa 5 → $y(x) = 3-\textrm{e}^{-3x}.$