Question

Determine a solução da equação diferencial exata (2x + 3y)dy + (3x + 2y)dx = 0.

Answer 1

Sendo (2x + 3y)dy + (3x + 2y)dx = 0 uma equação diferencial exata, temos que:

M(x,y) = 3x + 2y

N(x,y) = 2x + 3y

Utilizando a função M(x,y), vamos integrá-la em função de x:

$F(x,y) = \int {3x+2y} \, dx = \frac{3x^2}{2} + 2xy + G(y)$.

Agora, vamos derivar a função F(x,y) em relação a y:

F'(x,y) = 2x + G'(y).

Igualando a derivada acima à função N(x,y), obtemos:

2x + 3y = 2x + G'(y)

G'(y) = 3y.

Para calcularmos o valor de G(y) precisamos integrar a derivada acima em função de y:

$G(y) = \int\ {3y} \, dy = \frac{3y^2}{2}$.

Logo,

$F(x,y) = \frac{3x^2}{2} + 2xy + \frac{3y^2}{2}$.

Portanto, a solução da EDO exata é: $\frac{3x^2}{2} + 2xy + \frac{3y^2}{2} = C$.