Question

determine a s coordenadas do vertice das funçoes abaixo
f(x)=6x-x²
f(x)=x²-4x+4

Answer 1

Ⓐ $( \big( \Big( \bigg(\Bigg( P_{max} = (3, 9) \Bigg)\bigg)\Big)\big))\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \LaTeX$

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Ⓑ $( \big( \Big( \bigg(\Bigg( P_{min} = (2, 0) \Bigg)\bigg)\Big)\big))$

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Explicação passo-a-passo:__________✍

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Mas o que significa, afinal, “encontrar as raízes”? Significa encontrar os valores de x para que f(x) seja igual a zero, ou seja, os valores de x em que nossa função “cruza” com o eixo das abscissas (x).

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Chamamos de Fórmula de Bháskara a resolução para encontrar as raízes de uma equação polinomial de segundo grau, dada na forma de ax² + bx + c, através de uma manipulação algébrica entre os coeficientes a, b, e c de tal forma que um valor Δ seja descoberto, sendo

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$\boxed{ \ \ \ \Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c \ \ \ }$

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Este valor Δ pode nos dizer 3 coisas:

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Δ > 0 nos diz que o polinômio tem duas raízes definidas no conjunto dos Reais;

Δ = 0 nos diz que o polinômio tem somente uma raiz definida no conjunto dos Reais;

Δ < 0 nos diz que o polinômio não tem nenhuma raiz definida no conjunto dos Reais;

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Temos também que a parábola formada por essa função terá um ponto Pm = (xm,ym) mínimo de y caso a > 0 ou um valor máximo de y caso a < 0 tais que Pm = (-b/2a, -Δ/4a).

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Com o valor de Δ, nosso delta (ou também chamado de discriminante) em mãos podemos então encontrar o valor de nossa raiz através da equação

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$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}\\\\.\\.\\ \begin{cases}x_{1}= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}\\\\\ x_{2}= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}\end{cases}$

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Sendo x1 ≥ x2.

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Curiosidade: só no Brasil chamamos este método de Fórmula de Bháskara, no resto do mundo é só Método para encontrar as raízes de uma equação de segundo grau mesmo. Nem sequer foi o matemático Bháskara, que viveu no século 12, quem inventou o método. Este já existia antes dele e tem sido aprimorado ao longo dos milênios por diversas culturas.

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Enfim, vamos às contas.

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Ⓐ F(x) = (-1)x² + 6x + 0 = 0

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a = -1

b = 6

c = 0

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$\Delta = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 0\\\\.\\\Delta = 36 - 0\\\\.\\\boxed{ \ \ \ \Delta = 36\ \ \ }$

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Sendo nosso coeficiente a < 0 então teremos uma parábola de concavidade voltada para baixo (o famoso 'a parábola está triste') o que nos dará um ponto máximo em Pm = (-b/2a, -Δ/4a)

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$x_m = \dfrac{-b}{2a}\\.\\\\x_m = \dfrac{-6}{2*(-1)}\\.\\\\x_m = \dfrac{-6}{-2}\\.\\\\\boxed{ \ \ \ x_m = 3 \ \ \ }\\.\\.\\y_m = \dfrac{-\Delta}{4a}\\.\\\\y_m = \dfrac{-36}{4*(-1)}\\.\\\\y_m = \dfrac{-36}{-4}\\.\\\\\boxed{ \ \ \ y_m = 9 \ \ \ }$

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➥ $\boxed{ \ \ \ P_{max} = (3, 9) \ \ \ }$ ✅

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Ⓑ  F(x) = 1x² + (-4)x + 4 = 0

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a = 1

b = -4

c = 4

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$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4\\\\.\\\Delta = 16 - 16\\\\.\\\boxed{ \ \ \ \Delta = 0\ \ \ }$

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Sendo nosso coeficiente a > 0 então teremos uma parábola de concavidade voltada para cima (o famoso 'a parábola está feliz') o que nos dará um ponto mínimo em Pm = (-b/2a, -Δ/4a)

.$x_m = \dfrac{-b}{2a}\\.\\\\x_m = \dfrac{-(-4)}{2*1}\\.\\\\x_m = \dfrac{-(-4)}{2}\\.\\\\\boxed{ \ \ \ x_m = 2 \ \ \ }\\.\\.\\y_m = \dfrac{-\Delta}{4a}\\.\\\\y_m = \dfrac{-0}{4*1}\\.\\\\y_m = \dfrac{-0}{4}\\.\\\\\boxed{ \ \ \ y_m = 0 \ \ \ }$

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➥$\boxed{ \ \ \ P_{min} = (2, 0) \ \ \ }$✅

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Bons estudos. ☕

(Dúvidas nos comentários)

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."