Question

Determine a representação trigonométrica do número
complexo Z = 1 + i √3

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos que um número complexo em sua forma trigonométrica possui a seguinte estrutura:

$\boxed{z = \rho( \cos \theta + i. \sin \theta)}$

Note que temos alguns elementos, como o "p" e o "theta"

O "p" representa o módulo desse complexo.

O "theta" representa o argumento, que é o ângulo.

Então para achar a forma trigonométrica teremos que calcular esses dois.

Módulo:

A fórmula para encontrar o módulo é dada por:

$\boxed{ \rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } }$

O "a" representa a parte real e o "b" representa a parte imaginária. No complexo fornecido pela questão temos que a é igual a 1 e b é igual a √3.

a = 1

b = √3

Substituindo:

$\rho = \sqrt{(1) {}^{2} + ( \sqrt{3} ) {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{1 + 3} \\ \rho = \sqrt{4} \\ \boxed{\rho = 2}$

O módulo é "2", reserva esse valor.

Argumento:

Para calcularmos o argumento devemos usar as relações de seno e cosseno.

$\begin{cases} \sin( \theta) = \frac{b}{ \rho} \\ \\ \cos( \theta) = \frac{a}{ \rho} \end{cases}$

Temos os valores necessários, então vamos substituir.

$\sin( \theta) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ \cos ( \theta) = \frac{1}{2}$

Agora você pensa comigo, qual é o ângulo que possui o seno igual a √3/2 e o cosseno igual a 1/2, certamente é o ângulo de 60°, então temos que a forma trigonométrica é:

$\Large\begin{cases}z = 2.( \cos60 {}^{ \circ} + i. \sin60 {}^{ \circ} ) \\ ou \\ z = 2.( \cos \frac{\pi}{3} + i. \sin \frac{\pi}{3} ) \end{cases}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️