Question

determine a razão em que o ponto C (3,6) divide o segmento AB ,sendo A(1,2) e B (9,18)​

Answer 1

Primeiramente calcule a distância entre os pontos A e B. Isto te dará o comprimento do segmento $\overline{AB}$:

$d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Substituindo as coordenadas dos pontos:

$d_{AB} = \sqrt{(9 - 1)^2 + (18 - 2)^2}$

$d_{AB} = \sqrt{(8)^2 + (16)^2}$

$d_{AB} = \sqrt{64 + 256}$

$d_{AB} = \sqrt{320}$

$d_{AB} = \sqrt{64 \cdot 5}$

$d_{AB} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{5}$

$d_{AB} = 8 \cdot \sqrt{5}$

Agora calcule a distância entre C e A:

$d_{CA} = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$

Substituindo as coordenadas dos pontos:

$d_{CA} = \sqrt{(3 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$

$d_{CA} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2}$

$d_{CA} = \sqrt{4 + 16}$

$d_{CA} = \sqrt{20}$

$d_{CA} = \sqrt{4 \cdot 5}$

$d_{CA} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5}$

$d_{CA} = 2 \cdot \sqrt{5}$

Apenas para verificar, pode-se calcular a distância entre B e C:

$d_{BC} = \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2}$

Substituindo as coordenadas dos pontos:

$d_{BC} = \sqrt{(9 - 3)^2 + (18 - 6)^2}$

$d_{BC} = \sqrt{(6)^2 + (12)^2}$

$d_{BC} = \sqrt{36 +144}$

$d_{BC} = \sqrt{180}$

$d_{BC} = \sqrt{36 \cdot 5}$

$d_{BC} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5}$

$d_{BC} = 6 \cdot \sqrt{5}$

Ou seja: $d_{AB}= d_{CA}+d_{BC}$

Agora vamos ao que interessa. A razão entre $d_{CA}$ e $d_{AB}$:

$\dfrac{d_{CA}}{d_{AB}} = \dfrac{2 \cdot \sqrt{5}}{8 \cdot \sqrt{5}}$

$\dfrac{d_{CA}}{d_{AB}} = \dfrac{2}{8}$

$\boxed{\dfrac{d_{CA}}{d_{AB}} = \dfrac{1}{4}}$