Question

Determine a ∈ R ∀ exista $\lim_{x \to -2}f(x)$

$f(x)\left \{ {{4x+3} se x\leq -2\atop {3x+ase x\ \textgreater \ -2}}$

Obs: a resposta é: a=1... Quero saber como resolve.

Answer 1

Pela definição, o limite da esquerda e da direita devem ser iguais em um dado ponto para que exista o Limite neste referido ponto.

Também temos que de acordo com o enunciado, quando X = - 2 devemos usar a expressao 4X+3.

$\large{\mathbf{\begin{cases}4X + 3 & \text{ se } x\leq -2 \\ 3X+a & \text{ se } x>-2 \end{cases}}}$

Para F(-2) devemos usar 4X + 3, logo

F(-2) = 4X + 3

F(-2) = 4.(- 2) + 3

F(-2) = - 8 + 3

F(-2) = - 5

Como dito acima, para que exista o Limite em - 2, os limites laterais (direita e esquerda) devem ser iguais. Sendo assim o limite da direita utiliza a expressao 3X + a e estes deve ser igual ao da esquerda (já calculado - 4X + 3).

Logo

3X + a = - 5

3.(- 2) + a = - 5

- 6 + a = - 5

a = - 5 + 6

a = 1

Logo quando a = 1 a expressao 3X + a (3X + 1) terá valor igual a 4X + 3 quando X for - 2, ou seja os limites laterais serão iguais entao existirá o limite em - 2 nessa função composta (no ponto  - 2)......... Para outros pontos basta verificar se os limites laterais sao iguais (já antecipo que o único ponto critico dessa função para Limites é o - 2)