Question

Determine a quantidade de números com seis dígitos que possuem exatamente
três dígitos iguais a 1.

Answer 1

$( \big( \Big( \bigg(\Bigg( 13.770\ numeros \Bigg)\bigg)\Big)\big))$

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Explicação passo-a-passo:__________✍

Vamos inicialmente separar em dois sub-grupos para analisá-los separadamente e somarmos ambos ao final:

I) Números iniciados com 1

II) Números não iniciados com 1

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I) Temos que para o nosso primeiro sub-conjunto, onde o primeiro elemento é fixo com somente uma possibilidade, a configuração das combinações será

1 1 1 9 9 9

A multiplicação destas possibilidades nos dará o total de combinações nesta configuração de cento e onze mil e guaraná com rolha

1 * 1 * 1 * 9 * 9 * 9 = 729

Agora devemos considerar também as permutações entre as nossas combinações, tendo em vista que a ordem dos números importa para nossa combinação. Isso significa que teremos permutações entre 5 elementos (5!) porém com algumas repetições (3! para os 3 noves e 2! para os dois uns), ou seja

729 * 5 * 4 / 2 = 7.290

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II) Temos que para o nosso segundo sub-conjunto, onde o primeiro elemento também é fixo só que com 8 possibilidades a configuração das combinações será

8 9 9 1 1 1

De semelhante forma, a multiplicação destas possibilidades nos dará o total de combinações nesta configuração de guaraná com rolha cento e onze

8 * 9 * 9 * 1 * 1 * 1 = 648

Agora devemos considerar também as permutações entre as nossas combinações, tendo em vista que a ordem dos números importa para nossa combinação. Isso significa que teremos permutações entre 5 elementos (5!) porém com algumas repetições (2! para os 2 noves e 3! para os dois uns), ou seja

648 * 5 * 4 / 2 = 6.480

Portanto teremos um total de

➥ 7.290 + 6.480 = $\boxed { \boxed{ \ \ \ 13.770\ numeros \ \ \ }}$

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CONFERINDO...

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Sendo x = 9 opções (excluímos o 1) e y = 8 opções (excluímos o 1 e o zero pois um número iniciado com zero, neste caso, resultaria em 5 dígitos ao invés de 6) teremos

y 1 1 . 1 x x (648 opções)

y 1 1 . x 1 x (648 opções)

y 1 1 . x x 1 (648 opções)

y 1 x . 1 1 x (648 opções)

y 1 x . 1 x 1 (648 opções)

y 1 x . x 1 1 (648 opções)

y x 1 . 1 1 x (648 opções)

y x 1 . 1 x 1 (648 opções)

y x 1 . x 1 1 (648 opções)

y x x . 1 1 1 (648 opções)

1 x x . x 1 1 (729 opções)

1 x x . 1 x 1 (729 opções)

1 x x . 1 1 x (729 opções)

1 x 1 . x x 1 (729 opções)

1 x 1 . x 1 x (729 opções)

1 x 1 . 1 x x (729 opções)

1 1 x . x x 1 (729 opções)

1 1 x . x 1 x (729 opções)

1 1 x . 1 x x (729 opções)

1 1 1 . x x x (729 opções)

13.770 opções

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≧◉ᴥ◉≦

Bons estudos. ✌

(dúvidas nos comentários)

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."