Question

Determine a posição relativa entre o ponto P(1,-1) e a circunferência (x +2)2 + (y - 3)2 = 25.

a) P é interno à circunferência
b) P é externo à circunferência
c) P pertence à circunferência
d) P é tangente​

Answer 1

Resposta:

resposta: letra C

Explicação passo a passo:

Sabendo que um ponto qualquer pode ser interno, pertencente ou externo à circunferência.

1)O ponto P será interno à circunferência λ se, e somente se,  a distância do ponto P ao centro C da circunferência λ for menor que o raio. Ou seja:

                                 $D(P, C) < r$

2)O ponto P será pertencente à circunferência λ se, e somente se,  a distância do ponto P ao centro C da circunferência λ for igual ao raio. Ou seja:

                                 $D(P, C) = r$

3)O ponto P será externo à circunferência λ se, e somente se,  a distância do ponto P ao centro C da circunferência λ for maior que o raio. Ou seja:

                                 $D(P, C) > r$

Seja a circunferência λ: (x + 2)² + (y - 3)² = 25 e o ponto P = (1, -1)

Se a equação reduzida da circunferência é λ: (X - Xc)² + (Y - Yc)² = r² e o ponto é P = (Xp, Yp).

Calculando as coordenadas do centro C da circunferência λ a partir de sua equação, temos:

           $C = ((-1).Xc, (-1).Yc) = ((-1).2, (-1).(-3)) = (-2, 3)$

Portanto, centro C da circunferência é C = (-2, 3) e o seu raio é r = √25 = 5.

Calculando a distância entre o ponto P e o centro C, temos:

$D(P, C) = \sqrt{(Xp - Xc)^{2} + (Yp - Yc)^{2} }$

             $= \sqrt{(1 - (-2))^{2} + (-1 -3)^{2} }$

             $= \sqrt{(1 + 2)^{2} + (-1 -3)^{2} }$

             $= \sqrt{3^{2} + (-4)^{2} }$

             $= \sqrt{9 + 16}$

             $= \sqrt{25}$

             $= 5$

Se D(P, C) = 5 e o raio r = 5, ou seja:

                $D(P, C) = r$

Portanto o ponto P pertence à circunferência λ, ou seja, P ∈ λ

OBS: Não podemos dizer que o ponto P é tangente à circunferência λ, porque só podemos falar em tangência se, e somente se, o ponto P fosse comum à DUAS curvas  -  o que não é o caso.