Question

determine a posição relativa entre as retas r:(x,y,z) = (3,-1,2) + k (2, -3,4)

Answer 1

Para determinar a posição relativa entre duas retas, devemos estudar a posição relativa entre seus vetores diretores.

A reta r é dada por uma equação vetorial e podemos ver que seu vetor diretor pode ser o vetor u = (2, -3, 4). Já a reta s é dada pela equações paramétrica e podemos ver que seu vetor diretor pode ser o vetor v = (1, -1, 3).

Notamos que os vetores u e v NÃO são proporcionais, portanto não possuem a mesma direção. Isso nos indica que as retas r e s NÃO são paralelas. Portanto, r e s serão ou concorrentes ou reversas.

Para saber se r e s são concorrentes ou reversas, podemos tomar um ponto de r e um ponto de s e traçar um outro vetor a partir desses pontos. Vemos que o ponto A = (3, -1, 2) pertence a reta r e vemos que o ponto B = (-1, 4, -8) pertence a reta s. Pontanto, podemos determinar o vetor AB.

vetor AB = (-1-3, 4-(-1), -8-2) = (-4, 5, -10)

Agora temos três vetores:

vetor u = (2, -3, 4) ⇒ diretor de r
vetor v = (1, -1, 3) ⇒ diretor de s
vetor AB = (-4, 5, -10)

Podemos calcular o produto misto entre esse três vetores. Se o resultado é zero, esse vetores serão linearmente dependentes e as retas serão concorrentes. Se o resultado for diferente de zero, os vetores serão linearmente independentes e as retas serão reversas.
           
                  |   2    -3     4  |
[r, s, AB] = |   1    -1     3  | = 2*(10 - 15) - 3*(-12 + 10) + 4*(5 - 4) = 
                  |  -4     5   -10 |

= 2*(-5) - 3*(-2) + 4*(1) = -10 + 6 + 4 = 0

Como o produto misto de r, s e AB é igual a zero,  então os vetores são LD e as retas são concorrentes.

Obs.: Como as retas são concorrentes, podemos verificar se são perpendiculares, para isso calculamos o produto escalar entre vetores diretores das retas.

r . v = (2, -3, 4) . (1, -1, 3) = 2*1 + (-3)*(-1) + 4*3 = 2 + 4 + 12 = 18

Como o produto escalar é diferente de zero, as retas NÃO são perpendiculares.