Question

Determine a posição relativa entre as circunferência x² + y² = 16 e x² + y² + 6x - 4y + 4 = 0.

Answer 1

Vamos começar lembrando das possíveis posições relativas entre circunferências. Tome os desenhos anexados à resolução como exemplos dessas posições.

1) Internas: Ocorre quando uma das circunferências está contida inteiramente dentro da outra, sem que haja qualquer ponto de contato entre elas. Nesse caso, teremos a distancia "d" entre os centros das circunferências menor que o módulo da diferença de seus raios.  

                                           $\boxed{\sf d~<~|r_1-r_2|}$

2) Concêntricas: Quaisquer duas circunferências são ditas concêntricas internas quando possuem mesmo centro, porém raios diferentes.

3) Externas: Ao contrário do que é visto em circunferências internas, dizemos que duas circunferências são externas quando uma está inteiramente fora da outra, isto é, nenhuma das duas é interna à outra, não havendo nem sequer um ponto de contato. Para que ocorra, a distância entre os centros das circunferências é maior que a soma de seus raios.

                                           $\boxed{\sf d~>~r_1+r_2}$

4) Tangentes internas: Há uma única diferença que marca a diferença entre duas circunferências internas e tangentes internas, as tangentes internas possuem um, e apenas um, ponto de contato entre as circunferências. Nesse caso, teremos a distancia "d" entre os centros das circunferências igual ao módulo da diferença de seus raios.

                                           $\boxed{\sf d~=~|r_1-r_2|}$

5) Tangentes externas: Semelhante ao que ocorre nas tangentes internas, há uma única diferença que diferencia circunferências externas de tangentes externas, as tangentes externas possuem um, e apenas um, ponto de contato entre as circunferências. Nesse caso, teremos a distancia "d" entre os centros das circunferências igual à soma de seus raios.

                                           $\boxed{\sf d~=~r_1+r_2}$

6) Secantes: Ocorre quando há dois pontos de contato entre as circunferências. Para isso, a distancias entre os centros das duas circunferências deve ser maior que o módulo da diferença entre seus raios e menor que a soma desses raios.

                                  $\boxed{\sf |r_1-r_2|~<~d~<~r_1+r_2}$

Dito isso, vamos nos ater as circunferências dadas.

Na forma geral, as circunferências são dadas como:

$\boxed{\sf (x-a)^2~+~(y-b)^2~=~r^2}\\\\\sf Onde~o~ponto~(a~,~b)~\acute{e}~o~centro~da~circunfer\hat{e}ncia~e~r,~seu~raio.$

Colocando a primeira circunferência na forma geral, temos:

$\sf x^2~+~y^2~=~16~~ \Longrightarrow~~\boxed{\sf (x-0)^2~+~(y-0)^2~=~4^2}$

Como podemos ver, a circunferência tem centro no ponto (0 , 0) e raio igual a 4 unidades.

Para deixarmos a segunda circunferência na forma geral, precisaremos aplicar o conceito de completar quadrado, assim convém fazermos um passo-a-passo mais detalhado, acompanhe:

$\sf x^2~+~y^2~+~6x~-~4y~+~4~=~0\\\\\\x^2~+~6x~+~y^2~-~4y~=\,-4\\\\\\(x^2~+~6x)~+~(y^2~-~4y)~=\,-4\\\\\\(x^2~+~3x~+~3x)~+~(y^2~-~2y~-~2y)~=\,-4$

$\sf (x^2~+~3x~+~3x~+~3^2~-~3^2)~+~\Big(y^2~-~2y~-~2y~+~(-2)^2~-~(-2)^2\Big)~=\,-4\\\\\\\sf \sf (x^2~+~3x~+~3x~+~3^2)~-~3^2~+~\Big(y^2~-~2y~-~2y~+~(-2)^2\Big)~-~(-2)^2~=\,-4$

$\sf Lembrando~do~produto~notavel~~(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2\\\\\\\sf \sf (x+3)^2~-~3^2~+~(y-2)^2~-~(-2)^2~=\,-4\\\\\\(x+3)^2~-~9~+~(y-2)^2~-~4~=\,-4\\\\\\(x+3)^2~+~(y-2)^2~=\,-4~+~9~+~4\\\\\\(x+3)^2~+~(y-2)^2~=~9\\\\\\\boxed{\sf (x+3)^2~+~(y-2)^2~=~3^2}$

Como podemos ver, essa segunda circunferência tem centro no ponto (-3,2) e raio igual de 3 unidades.

Por fim, vamos calcular a distância entre os centros, a soma dos raios e o módulo da diferença dos raios para podermos determinar a posição relativa entre estas duas circunferências.

$\sf d~=~\sqrt{(a_1-a_2)^2~+~(b_1-b_2)^2}\\\\\\d~=~\sqrt{\Big(0-(-3)\Big)^2~+~(0-2)^2}\\\\\\\sf d~=~\sqrt{(3^2~+~(-2)^2}\\\\\\\sf d~=~\sqrt{9~+~4}\\\\\\\boxed{\sf d~=~\sqrt{13}~\approx~3,6}\\\\\\\\|r_1~-~r_2|~=~|4-3|~=~|1|~=~\boxed{\sf ~1~ }\\\\\\\\r_1~+~r_2~=~4+3~=~\boxed{\sf~7~}$

Fica evidente que a distância entre os centros é maior que o módulo da diferença dos raios e menor que a soma, portanto estas duas circunferências são secantes. Veja o segundo desenho anexado mostrando estas duas circunferências.

Resposta: Secantes

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$