Determine a posição relativa entre a circunferência λ:(X-3) ² + (Y+5)²=36 e a circunferência de equação:
A) X²-4X+y²+10y+4=0
B) x²-8x+y²+6y+24=0
C) x²+y²+4y=0
D) x²+10x+y²-2y+17=0
Soluções para a tarefa
A posição relativa entre as circunferências: a) tangentes internas, b) internas, c) secantes, d) externas.
A circunferência (x - 3)² + (y + 5)² = 36 possui centro em C = (3,-5) e raio r = 6.
a) Vamos completar quadrado na equação x² - 4x + y² + 10y + 4 = 0:
x² - 4x + 4 + y² + 10y + 25 = -4 + 4 + 25
(x - 2)² + (y + 5)² = 25.
A circunferência possui centro em C' = (2,-5) e raio 5.
Vamos calcular a distância entre os dois centros:
d² = (3 - 2)² + (-5 + 5)²
d² = 1
d = 1.
Perceba que a distância entre os centros é igual a 6 - 5.
Isso quer dizer que as duas circunferências são tangentes internas.
b) Completando quadrado em x² - 8x + y² + 6y + 24 = 0:
x² - 8x + 16 + y² + 6y + 9 = -24 + 16 + 9
(x - 4)² + (y + 3)² = 1.
Centro: (4,-3)
Raio: 1.
Calculando a distância entre os centros:
d² = (4 - 3)² + (-3 + 5)²
d² = 1 + 4
d = √5.
Logo, as circunferências são internas.
c) Completando quadrado em x² + y² + 4y = 0:
x² + y² + 4y + 4 = 4
x² + (y + 2)² = 4
Centro: (0,-2)
Raio: 2
Calculando a distância entre os centros:
d² = (0 - 3)² + (-2 - 5)²
d² = 9 + 49
d² = 58
d = √58.
Como a distância é menor que a soma dos raios, então as circunferências são secantes.
d) Completando quadrado em x² + 10x + y² - 2y + 17 = 0:
x² + 10x + 25 + y² - 2y + 1 = -17 + 25 + 1
(x + 5)² + (y - 1)² = 9
Centro: (-5,1)
Raio: 3
Calculando a distância entre os centros:
d² = (-5 - 3)² + (1 + 5)²
d² = 64 + 36
d² = 100
d = 10.
Como a distância entre os centros é maior que a soma dos raios, então as circunferências são externas.
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