Question

Determine a posição relativa entre a circunferência de equação X² + Y² – 6X – 2Y + 6 = 0 e o ponto P(2, 1) *

1 ponto

a) P é interno ao centro

b) P pertence à circunferência

c) P é externo à circunferência

d) P é interno à circunferência

e) P é interno ao ponto de origem

Answer 1

Resposta:

d) P é interno à circunferência

( em anexo gráfico com circunferência e ponto P )

Explicação passo a passo:

Primeira  Parte

Partindo da Equação Geral da circunferência, ir até a Equação Reduzida.

Observação 1 → A equação reduzida da circunferência é do tipo :

( x - a)² + ( y - b )² = r²

( a; b) coordenadas do centro da circunferência

" r "  é o raio da circunferência

Repare que tem aqui dois Produtos Notáveis.

O Quadrado de uma Diferença.

Observação 3 → Quadrado de uma Diferença

Para desenvolver este Produto Notável, seguimos a seguinte regra:

" o quadrado do 1º termo " + " o dobro do produto do 1º pelo 2º termo

+ " o quadrado do 2º termo"

Este desenvolvimento vai dar origem a 3 termos.

Agora queremos passar dos 3 termos ( um Trinómio ), regredindo até chegar ao Produto

Notável.

Vamos o fazer duas vezes. Uma para o "x" , outra para o "y"

Cálculos Auxiliares

Pego nos dois termos em "x" e vou procurar o terceiro termo do trinómio.

Observação 2 → Como completar o trinómio de um Produto Notável

Tendo um termo em x² e um termo em "x", 6x para completar o trinómio

basta "adicionar o quadrado de metade do coeficiente em x"  

Neste caso "- 6x" vai fornecer o coeficiente "- 6 " para completar o

Trinómio.

( - 6/2 )² ou seja 3²

Repare no trinómio completo:

x² - 6x + 3²

E agora como vai ficar? ( x + 3 )²   ou   ( x - 3 )²

Quem decide isso é o sinal de termo em x.

"  menos 6x "

Logo será ( x - 3 )²

Fim de cálculos auxiliares

( x² - 6x +(6/2)² ) + ( y² - 2y + ( - 2/2 )² ) ....

( x - 3 )² + ( y - 1 )² + 6 ...

Mas faço aqui uma pausa.

Muito Importante

Se acrescentei " 3²"  e 1² , para não alterar a equação inicial , é necessário

subtrair as mesmas parcelas.

( x - 3 )² + ( y - 1 )² + 6 - 3² - 1² = 0

( x - 3 )² + ( y - 1 )² + 6 - 9 - 1 = 0

( x - 3 )² + ( y - 1 )² - 4  = 0

Passar o " - 4 " para o 2º membro.

( x - 3 )² + ( y - 1 )²  = 4

E colocá-lo na forma de uma potência de expoente 2

( x - 3 )² + ( y - 1 )²  = 2²

Equação reduzida da circunferência de Centro ( 3 ; 1 )  e raio = 2

Primeira  Parte

Seu as coordenadas do Centro da circunferência e sei as coordenadas do

ponto P.

Através da fórmula que dá a distância entre dois pontos, conhecidas suas

coordenadas.

$d_{AB} =\sqrt{(x_{2 } -x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2$  esta é a formula para dois pontos A e B

quaisquer.

Vamos aplicá-la aos pontos C ( 3 ; 1 ) e P ( 2 ; 1 )

$d_{PC} =\sqrt{(-1)^2+(0)^2}=\sqrt{1} =1$

O ponto P está uma distância de uma unidade, do centro da  

circunferência.

E o raio da circunferência é 2.

Ponto P  está no interior da zona limitada pela circunferência.

Bom estudo.

-----------------------

Sinais: ( / ) dividir