Question

Determine a posicão relativa de cada uma das retas listadas a seguir em relação à circunferência
de equação:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25.

a) r: 12x - 5y + 19 = 0
b) t: 4x - 3y - 10 = 0
c) s:7x + 4y - 15 = 0​

Answer 1

Resposta:

vide resolução

Explicação passo-a-passo:

A circunferência dada pode ser reescrita da forma:

$(x-3)^{2}+(y+2)^{2} =25\\(x-3)^{2}+(y-(-2))^{2} =5^{2}$

Assim, o centro da circunferência é C(3 ; -2) e o raio é igual a 5.

a) Calculando a distância do centro da circunferência à reta r: 12x - 5y + 19 = 0, temos:

$d(C, r)=\frac{|12.3-5.(-2)+19|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}} }\\d(C, r)=\frac{|36+10+19|}{\sqrt{144+25} } \\d(C, r)=\frac{|65|}{\sqrt{169} }\\d(C, r)=\frac{65}{13}\\d(C, r)=5$

Como $d(C, r) =5=raio$ , então a reta r é tangente à circunferência dada.

b) Calculando a distância do centro da circunferência à reta t: 4x - 3y -10 = 0, temos:

$d(C, t)=\frac{|4.3-3.(-2)-10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} }\\d(C, t)=\frac{|12+6-10|}{\sqrt{16+9} } \\d(C, t)=\frac{|8|}{\sqrt{25} }\\d(C, t)=\frac{8}{5 }$

Como $d(C, t) =\frac{8}{5} =1,...<5$ , então a reta t é interior à circunferência dada.

c) Calculando a distância do centro da circunferência à reta s: 7x + 4y - 15 = 0, temos:

$d(C, s)=\frac{|7.3+4.(-2)-15|}{\sqrt{7^{2}+4^{2}} }\\d(C, s)=\frac{|21-8-15|}{\sqrt{49+16} } \\d(C, s)=\frac{|-2|}{\sqrt{65} }\\d(C, s)=\frac{2}{\sqrt{65} }$

Como $d(C, s)=\frac{2}{\sqrt{65} }<1<5$ , então a reta s é interior à circunferência dada.

Answer 2

Resposta:

a) r: 12x-5y+19=0

d= (12.3+(-5).(-2)+19)