Question

Determine a posição relativa das retas r: 3x -5 y -12 = 0 e 2x + 5y - 6 = 0.
Preciso pra hj, me ajudem pfvr

Answer 1

Resposta:

Coincidente

$P = \left(\frac{18}{5},\; -\frac{6}{25} \right)$

Explicação passo-a-passo:

Logo de inicio podemos ver que elas não são paralelas, pois uma não é multipla da outra, se elas fosse paralelas o seguinte seria satisfeito:

$r:3x-5y-12=0\\s:2x+5y-6=0\\\\r\parallel s \Leftrightarrow s = \lambda r,\quad \lambda \in \mathbb{R}$

Tá mas o que significa isso que eu escrevi, significa que elas seriam paralelas se a reta s fosse um multiplo da reta r, ou seja, eu multiplico a reta r por um valor e chego na reta s, note que isso é impossivel! poderiamos achar esse multiplo dividindo as duas retas e chegando num resultado único, o que é impossivel.

Dito isso podemos afirmas então que as retas são concorrentes, com certeza!

Podemos verificar agora se elas são perperdiculares ou não, e até achar o ponto de encontro das duas, primeiro vou escrever as retas na forma reduzida:

$r: 3x -5y - 12 =0\\\\r:y = \frac{3x-12}{5}\\\\\\s:2x+5y-6 = 0\\\\s: y = \frac{-2x+6}{5}$

Para elas serem perperdiculares temos a seguinte relação:

$r\perp s \Leftrightarrow m_1\cdot m_2 = -1$

Os coeficientes angulares das retas multiplicados devem dar -1!

Então sendo m1 o coeficiente da reta r e m2 o coeficiente da reta s temos:

$\frac{3}{5} \cdot -\frac{2}{5} = -\frac{6}{25} \ne -1$

Portanto elas não são perperdiculares também!

São apenas concorrentes mesmo, sem ser perpendicular.

Para achar o ponto que elas se cruzam podemos resolver o sistema:

$\left \{ {{3x-5y-12=0} \atop {2x+5y-6=0}} \right.$

Para nos ajudar perceba que o 5y já está com o sinal trocado, basta somar as equações:

$3x + 2x -5y + 5y -12 - 6 = 0\\5x - 18 = 0\\5x = 18\\\\x = \frac{18}{5}$

Colocando x em qualquer uma das equações:

$2\cdot \frac{18}{5} + 5y - 6 = 0\\\\\frac{36}{5} + 5y = 6\\\\5y = 6 - \frac{36}{5}\\\\5y = \frac{30}{5} - \frac{36}{5}\\\\5y = \frac{30-36}{5} \\\\5y = -\frac{6}{5} \\\\\\y = -\frac{6}{25}$

Pontanto o ponto de encontro das duas retas é:

$P = \left(\frac{18}{5},\; -\frac{6}{25} \right)$

Além disso deixarei um print das duas retas feitas no Geogebra para que você como elas são e aonde é o ponto de encontro.

Obs1: Lembrando que se a pergunta fosse apenas dizer se era concorrente, paralelas ou coincidente nada disso seria necessário e apenas provar que não são paralelas seria o suficiente, mas resolvi testar tudo para ficar bem completo e não faltar nada.

Obs2: Há outro método de ver se elas são perpendiculares sem precisar mudar a equação, com essa equação geral você pode calcular da seguinte forma, pega o número que mutiplica o x em r, faz o mesmo com s, multiplica esses dois números, agora faz isso com o y, pega na primeira e multiplica pelo coeficiente da segunda, vai dar outro número, soma esses dois números, se der zero é pq são perpendiculares, escrevendo isso de maneira geral é como se fosse:

$r: \alpha x + \beta y = 0\\s: \gamma x +\delta y = 0\\\\r\perp s \Leftrightarrow \alpha \cdot \gamma + \beta \cdot \delta = 0$

Exemplo:

$r: 2 x + 9 y = 0\\s: 27 x - 6y= 0\\\\r\perp s \Leftrightarrow 27 \cdot 2 + 9 \cdot (-6) = 0\\\\54 -54 = 0\\0 = 0$

De fato elas são perpendiculares

Qualquer dúvida respondo nos comentários