Question

Determine a PG de três elementos que são números inteiros, saben-
do que a soma deles é igual a 31 e o produto é 125.
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Answer 1

Resposta: A PG é (1 , 5 , 25)

Explicação passo-a-passo:

Utilizando a notação especial para uma PG de três elementos, que é (x/q , x , xq), onde q ≠ 0 é a razão da PG, podemos escrever:

$\begin{cases}\tt \dfrac{x}{q}+x+xq=31\qquad(\:1\:)\\\\ \tt \dfrac{x}{q}\cdot x\cdot xq=125\qquad(\:2\:)\end{cases}$

Para q ≠ 0, a equação ( 2 ) torna-se igual a:

$\tt x^3=125\\\\ \tt x^3=5^3\\\\ \tt x=5$

Substituindo x = 5 em ( 1 ), encontramos:

$\tt \dfrac{5}{q}+5+5q=31\\\\\\ \tt 5q+\dfrac{5}{q}=31-5\\\\\\ \tt 5\!\left(q+\dfrac{1}{q}\right)=26\\\\\\\ \tt q+\dfrac{1}{q}=\dfrac{26}{5}\\\\\\ \tt q+\dfrac{1}{q}=\dfrac{25+1}{5}\\\\\\ \tt q+\dfrac{1}{q}=\dfrac{25}{5}+\dfrac{1}{5}\\\\\\ \tt q+\dfrac{1}{q}=5+\dfrac{1}{5}\qquad (\:3\:)$

Devido ao fato de que os três termos da PG são números inteiros, da equação ( 3 ) podemos garantir que a razão q da PG é 5. Já conhecemos o valor de x e também o valor de q, agora é só escrever a PG:

$\tt \left(\dfrac{x}{q}\ ,\ x\ ,\ xq\right)=\left(\dfrac{5}{5}\ ,\ 5\ ,\ 5\cdot 5\right)=\boxed{\tt (1\ ,\ 5\ ,\ 25)}$